Buonasera,
Ho una domanda su questo esercizio secondo me istruttivo:
Ho un piano scabro ed inclinato di un angolo $vartheta=pi/6$ ed un disco di massa $M$ che si muove compiendo rotolamento puro.
Attorno al disco abbiamo avvolto un filo ideale, al cui estremo è collegato un punto materiale di massa $m=2M$.
Viene chiesto di trovare l'accelerazione angolare del disco e il valore della tensione della fune nell'istante iniziale.
L'esercizio potrebbe essere "semplicemente" risolto applicando la seconda cardinale nel punto di contatto, tuttavia ci è stato vivamente consigliato di risolverlo anche in un altro modo: applicando la seconda cardinale nel centro del disco.
Come si vede dalla foto, ho posto un sistema di riferimento inclinato come il piano per il moto del disco ed uno lungo la verticale per il moto del punto materiale.
Chiamando $F_a$ la forza di attrito, $phi$ l'angolo di rotazione del disco e $T$ la tensione della fune,
io ho scritto:
- seconda cardinale nel centro del disco $rarrI_Gddot(phi)= RF_a - RT$
- moto del punto materiale $rarr 2Mddot(y)'= 2Mg-T$
- prima cardinale lungo $x$ del disco $rarr Mddot(x)= Mgsin(vartheta)-F_a+Tsin(vartheta)$
- relazione cinematica di rotolamento puro $rarr ddot(x)=Rddot(phi)$
- relazione cinematica tra punto materiale e rotolamento disco $rarr ddot(y)'= -Rddot(phi)$
Da cui ricavo:
$ { ( I_oddot(phi)=R(F_a-T) ),
( T=2Mg+2MRddot(phi) ),
( F_a=Mgsin(vartheta)+Tsin(vartheta)-MRddot(phi) ):}} $
Domande:
1) da queste equazioni si giunge ad un risultato sbagliato. Qualcuno sarebbe in grado di capire dove ho sbagliato?
2) nella via più semplice, ovvero quando calcolo la seconda cardinale con centro di riduzione nel punto di contatto:
$I_C ddot(phi) =RMgsin(vartheta) - bT$
avrei un problema.
Ho chiamato $b$ il braccio della forza $T$.
Qualcuno sarebbe in grado di mostrarmi come calcolare $b$?
3) Se $m$ fosse uguale ad un valore diverso $tilde(m)$ che permetta l'equilibrio del sistema, quanto varrebbe la reazione vincolare $N$ del piano inclinato?
$N= Mgcos(vartheta) + tilde(m)gcos(vartheta)$
?