Insiemi boreliani

[ludovica_97]

Per me ogni elemento di $\mathbb{Q}$ si può scrivere come intersezione di insiemi aperti che sono boreliani. Perciò dicevo che era un Boreliano... Evidentemente c'è qualcosa che non va ma non riesco a capire cos'è

[gugo82]

Stai lavorando in $RR^2$, nel piano insomma, e stai dicendo che $QQ sub RR^2$.
Ma $QQ sub RR$, o no?

[ludovica_97]

No io mi sto concentrando solo su $\mathbb{Q}$ che sta su $\mathbb{R}$ perché la condizione è imposta solamente su x

[gugo82]

Ancora peggio… Stai dicendo che $B sub RR^2$ è l’intersezione di insiemi $A$ e $QQ$ che vivono in spazi differenti ($A sub RR^2$ e $QQ sub RR$).

[ludovica_97]

Ma nooo. x sta in $\mathbb{Q}$.
Forse non sto riuscendo a spiegarmi bene.... Li dentro ci sono elementi della forma $(x,y)$ con x in $\mathbb{Q}$ e y che hanno le condizioni imposte su A. Io mi sto concentrando un attimo su come è fatta "sulla parte delle x".
Comunque credo di aver capito quanto vale la misura, tranquillo

[gugo82]

Ho capito, fortunatamente il testo l'ho letto con attenzione… Così come ho letto questo tuo post:

[…] $B= {(x,y) \in A: x \in mathbb{Q}}$.
[…] Per quanto riguarda B, può essere visto come intersezione di A, che è Boreliano, con l'insieme degli $x \in \mathbb{Q}$ che è un Boreliano e quindi ho fatto.

in cui affermi esattamente quello che ho scritto sopra.

L'insieme $B$ si ottiene sì come intersezione, ma di $A$ e di $QQ xx RR$ (entrambi contenuti in $RR^2$).

Ora, $A$ è borelliano ed abbiamo capito perché; ma $QQ xx RR$? Perché è un borelliano?
Ed in più, che misura di Lebesgue ha?

[ludovica_97]

Ho capito, fortunatamente il testo l'ho letto con attenzione… Così come ho letto questo tuo post:

[…] $B= {(x,y) \in A: x \in mathbb{Q}}$.
[…] Per quanto riguarda B, può essere visto come intersezione di A, che è Boreliano, con l'insieme degli $x \in \mathbb{Q}$ che è un Boreliano e quindi ho fatto.

in cui affermi esattamente quello che ho scritto sopra.

L'insieme $B$ si ottiene sì come intersezione, ma di $A$ e di $QQ xx RR$ (entrambi contenuti in $RR^2$).

Ora, $A$ è borelliano ed abbiamo capito perché; ma $QQ xx RR$? Perché è un borelliano?
Ed in più, che misura di Lebesgue ha?

Basta mostrare che $\mathbb{Q}$ e $\mathbb{R}$ sono boreliani. Allora per $\mathbb{R}$ non ci sono problemi. $\mathbb{Q}$ è un sottoinsieme numerabile di $\mathbb{R}$ quindi è possibile scriverlo come unione numerabile dei suoi punti che altro non sono che dei chiusi. Perciò, scrivendosi come unione numerabile di chiusi, $\mathbb{Q}$ è un boreliano. La sua misura di Lebesgue è nulla, vale zero

[gugo82]

Assafà…

E perché la misura di Lebesgue di $QQ xx RR$ è nulla?

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

Basta provare che $L_r := \{r\} xx RR$ ha misura nulla in $RR^2$. Per fare ciò basta scegliere opportunamente due successioni positive $(delta_n),(l_n)$ tali che $delta_n -> 0$ e $l_n -> +oo$, $(l_n)$ crescente e considerare la successione di insiemi $[r-delta_n, r+delta_n] xx [-l_m,l_m]$ prima per fissato $m$ e poi...

[ludovica_97]

Non riesco a formalizzarlo in maniera precisa. La prima idea che mi viene in mente è quella di dire che si può interpretare $\mathbb{Q} x \mathbb{R}$ come l'unione su $\mathbb{Q}$ di elementi della forma ${q}x \mathbb{R}$ queste hanno misura nulla perché si possono vedere come il grafico della funzione $x=q$ e il grafico di una funzione ha misura nulla

[gugo82]

L'osservazione sul grafico è esatta, anche si si tratta di un grafico "capovolto", i.e. di una funzione di $y$.

Dato che mi piace fare le cose con le mani, però, osserva che scelte le due successioni come detto sopra, fissato $m$ hai:

$\{ r\} xx [-l_m,l_m] sube [r-delta_n,r+delta_n] xx [-l_m,l_m]$

e dunque $0<=m_e(\{ r\} xx [-l_m,l_m]) <= 2delta_n*l_m$ per ogni $n\in NN$, sicché $m_e(\{ r\} xx [-l_m,l_m])=0$; ciò comporta che ogni sottoinsieme $\{ r\} xx [-l_m,l_m] sub L_r$ è misurabile secondo Lebesgue (perché?) ed ha misura nulla.
D'altra parte, però, i sottoinsiemi $\{ r\} xx [-l_m,l_m]$ formano una successione crescente rispetto all'inclusione che ha per unione tutto $L$ (perché?), quindi $L_r$ è misurabile e $m(L_r) = "sup" m(\{ r\} xx [-l_m,l_m])$ (perché?) $=0$.
Infine, dato che $QQ xx RR = uu_(r in QQ) L_r$ (con unione disgiunta e numerabile) hai che $QQ xx RR$ è misurabile e la sua misura si calcola $m(QQ xx RR) = sum_{r in QQ} m(L_r)$ (perché?) $=0$.