Automorfismo fixed point free su gruppo

[Overflow94]

$ G $ è un gruppo di ordine finito che ha un automorfismo "fixed point free" di ordine due, in simboli:

$ |G|=n<oo $
$ EE sigma in Aut(G) $ tale che $ sigma(g)=g $ se e solo se $ g=1 $ e $ sigma @ sigma(g)=g\ \ \ \ AA g $

Si dimostri che $ G $ è abeliano.

[solaàl]

Ahem, aspetta, mi schiarisco la voce. Fatto.

"beh, cosa hai provato a fare?"

[axpgn]

@solaàl
Penso che Overflow94 abbia proposto un esercizio al forum (visti i suoi messaggi precedenti), non credo sia uno studente in cerca di aiuto

@Overflow94
Se così è, quando posti in questa sezione allora è meglio premettere al titolo l'etichetta [EX]

Cordialmente, Alex

[Overflow94]

In realtà cercavo aiuto
Questo è un esercizio che non sono riuscito a risolvere delle prime sezioni del libro "Abstract Algebra" di Dummit e Foote. Il libro da un hint:



La prima parte dell'hint si dimostra così:

$ f:G->G $
$ f(x)=x^(-1)sigma(x) $

Poiché $ G $ è finito per dimostrare che $ f $ è biettiva basta dimostrare che è iniettiva:

$ f(g)=f(h) $
$ g^(-1)sigma(g)=h^(-1)sigma(h) $
$ sigma(g)sigma(h)^-1=gh^(-1) $
$ sigma(gh^-1)=gh^(-1) $

L'ultimo passaggio implica che $ gh^-1=1 $ quindi $ g=h $ dimostrando l'iniettività.
Quindi essendo $ f $ biettiva $ AA yin G \ \ \EE! \ \ x in G: \ \y=x^-1sigma(x) $

[axpgn]

Sorry,

[Overflow94]

Mi rispondo da solo.

$ y = x^-1sigma(x) $ quindi:
$ sigma(y) = sigma(x^-1sigma(x))=sigma(x)^-1x=y^-1 $

Quindi in generale l'automorfismo $ sigma $ manda ogni elemento nel suo inverso $ sigma(g)=g^-1 $ .

Ponendo $ g=x^-1sigma(x) $ e $ h=y^-1sigma(y) $ abbiamo:

$ gh=x^-1sigma(x)y^-1sigma(y)=sigma(x)sigma(x) sigma(y)sigma(y)=sigma(x^2y^2)= $
$ =y^-2x^-2=y^-1sigma(y)x^-1sigma(x)=hg $

Quindi $ G $ è abeliano.