Derivabilità in un punto

[Fugo]

ciao ho un problema con questo piccolo esercizio, scriverò sotto quello che ho fatto

Determinare per quali valori dei parametri reali α e β la seguente funzione risulta derivabile in x = 0:
$ f(x)={ ( αe^(−x^2) , x ≥ 0 ),( 1 + βe^(1/x) , x < 0 . ):} $


prima di tutto ho calcolato la derivata prima della funzione:
$ f'(x)={ ( -2αe^(−x^2)x , x > 0 ),( -(βe^(1/x))/x^2 , x < 0 . ):} $

per vedere se è derivabile in 0 devo vedere se il limite destro e sinistro esistono e sono uguali:

$lim_(x->0-) -(βe^(1/x))/x^2=0$ per qualsiasi $β$
$lim_(x->0+) -αe^(−x^2)x =0 $ per qualsiasi $α$

però la risposta è sbagliata, l'esercizio dice che $α$ dovrebbe essere uguale ad 1 e $β$ qualsiasi numero , dove sbaglio?

[Mathita]

E della continuità in zero di $f$ - condizione necessaria per avere derivabilità in zero - che mi dici?

[Edit]: mi sa che hai mancato un due nella derivata di $f$ nel caso $x\ge 0$.

[Fugo]

Ciao mathita seguendo il tuo consiglio ho fatto quanto segue:

$ f(x)={ ( αe^(−x^2) , x ≥ 0 ),( 1 + βe^(1/x) , x < 0 . ):} $

per avere continuità in 0 bisogna rispettare queste condizioni:

$lim_(x->0-)f(x)=lim_(x->0+)f(x)=f(0)$

quindi:

$lim_(x->0-)1 + βe^(1/x)=1$
$lim_(x->0+)αe^(−x^2)=1$ solo se $α=1$
$f(0)=αe^(−x^2)=1$ solo se $α=1$

quindi $β$ qualsiasi e $α=1$, giusto il procedimento?

edit: giusto, ho dimenticato il 2 nella derivata, correggo subito

[Mathita]

Già! Adesso è chiaro perché $\alpha=1$ e $\beta$ qualsiasi, vero?

[Fugo]

certo grazie mille Mathita