insiemi semplici

Messaggioda leo.p » 25/01/2020, 19:18

ciao a tutti,

studiando gli integrali doppi per preparare l esame di analisi 2 mi sono imbattuto in un insieme di questo tipo
{ (x,y) | 4 <= xy <= 8 ; 5 <= xy^3 <= 15 }
e sto trovando molte difficoltà nel riuscire a renderlo semplice (sia x-semplice che y-semplice).

ho provato a cambiare le variabili sostituendo le coordinate polari ma non semplifica i calcoli.

ringrazio in anticipo chi mi aiuterà ;)
leo.p
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Re: insiemi semplici

Messaggioda obnoxious » 25/01/2020, 21:45

Puoi riportare anche l'integrale?
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è un po' che non mi annoio
obnoxious
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Re: insiemi semplici

Messaggioda pilloeffe » 26/01/2020, 09:47

Ciao leo.p,

Benvenuto sul forum!

Se ho capito bene hai il dominio seguente:

$D = {(x,y) \in \RR^2 | 4 <= xy <= 8 ; 5 <= xy^3 <= 15 } $

La prima cosa che mi viene in mente guardandolo è porre $u := xy $ sicché $4 <= u <= 8 $.
leo.p ha scritto:ho provato a cambiare le variabili sostituendo le coordinate polari ma non semplifica i calcoli.

Le coordinate polari invece proprio le escluderei... :wink:

Per quanto riguarda cosa conviene porre l'altra variabile $v$ mi verrebbe da dire $v := xy^3 $ sicché $5 <= v <= 15 $, ma quoto obnoxious:
obnoxious ha scritto:Puoi riportare anche l'integrale?
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Re: insiemi semplici

Messaggioda leo.p » 27/01/2020, 18:13

obnoxious ha scritto:Puoi riportare anche l'integrale?


l'esercizio richiede di studiare l area dell'insieme e quindi per integranda si prende la funzione costante 1 se non erro.
leo.p
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Re: insiemi semplici

Messaggioda pilloeffe » 28/01/2020, 00:23

Quindi l'integrale proposto è il seguente:

$\int\int_D \text{d}x \text{d}y $

ove $D = {(x,y) \in \RR^2 | 4 <= xy <= 8 ; 5 <= xy^3 <= 15 } $

In tal caso confermo la trasformazione che ho già suggerito. Si osservi che necessariamente $x$ e $y$ devono essere concordi, per cui per comodità supponiamo anche $x > 0 $ e $y > 0 $ (non è difficile capire cosa cambia se $x < 0 $ e $y < 0 $) sicché si ha:

${(u = xy),(v = xy^3):} \implies {(x = u/y),(v = uy^2):} \implies {(x = \sqrt{u^3/v}),(y = \sqrt{v/u}):} $

Occhio alla jacobiano della trasformazione nella risoluzione dell'integrale proposto... :wink:
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