Calcolo di limite

Messaggioda tetravalenza » 25/01/2020, 21:50

Ciao, un esercizio chiede di calcolare il limite della seguente successione

\[
a_n=\left(\frac{n+2}{n^2+1}\right)^{n+\frac{2}{n}}
\]

Io ho provato a porre
\[
1+\frac{1}{b_n}=\frac{n+2}{n^2+1}
\]

ma ottengo una successione $b_n$ che tende a -1, e non so procedere oltre. Allora ho provato con la proprietà

\[
e^{\log{\alpha}}=\alpha
\]

L'esponente tende a $-\infty$, il limite in questo caso è zero. Il risultato è corretto?
Posso utilizzzare questo criterio

https://www.matematicamente.it/forum/vi ... 2#p8435582

sostituendo l'indice della radice $n$ con $b_n=\frac{n+2}{n^2+1}$ e calcolare il limite del radicando?
tetravalenza
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Re: Calcolo di limite

Messaggioda gugo82 » 26/01/2020, 00:05

Quello che hai provato inizialmente non serve, perché la base della potenza tende a $0$ e non a $1$ (dunque non puoi ricondurre il calcolo del tuo limite a un'applicazione del limite notevole di Eulero $(1+1/b_n)^(b_n) -> e$).

Il Criterio della Radice per successioni sembra essere la strada più veloce per calcolare il limite, ma anche l'esponenziazione non è malvagia (perché l'esponente tende a $-oo$).
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Re: Calcolo di limite

Messaggioda pilloeffe » 26/01/2020, 00:08

Ciao tetravalenza,

A me pare che risulti semplicemente $lim_{n \to +\infty} a_n = 0 $
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Re: Calcolo di limite

Messaggioda Bokonon » 26/01/2020, 00:33

Ci sono più strade ma mi sono incaponito nell'utilizzo del limite notevole :-D
...si doveva poter fare anche con Eulero!
$lim_(n->oo) a_n=lim_(n->oo) [(n+2)/(n^2+1)]^(n+2/n)=lim_(n->oo) [(1+1/(n/2))^(n/2)]^(2+4/n^2)/(n^((n^2+2)/n)[(1+1/n^2)^(n^2)]^(1/n+2/n^3))=e^2/((oo)^(oo)*e^0)=0$
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Re: Calcolo di limite

Messaggioda tetravalenza » 26/01/2020, 11:14

OK, grazie a tutti per l'aiuto
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