Trasformazioni di Lorentz

[ValeForce]

Salve a tutti!
Sto studiando la Relatività Speciale e, purtroppo, c'è qualcosa che non mi torna.
Se due eventi sono separati da un intervallo di tipo spazio (mi sembra che ci sia ambiguità al riguardo nei libri, io intendo $(c \Delta t )^2 - (\Delta x )^2 <0$), esiste un sistema di riferimento $\Sigma '$ in cui i due eventi sono simultanei cioè $\Delta t' =0$.
Le trasformazioni di Lorentz sono
\begin{cases} x=\gamma(x'+\beta ct') \\ y=y' \\ z=z' \\ ct=\gamma (\beta x'+ct') \end{cases}
E quindi si dovrebbe avere per la prima trasformazione di Lorentz che ho scritto
$\Delta x= \gamma (\Delta x' + \cancel{ \beta c \Delta t' }) \Rightarrow \Delta x = \gamma \Delta x' > \Delta x'$
Ma $\Delta x'$, la "lunghezza" misurata dal sistema in cui gli eventi sono simultanei, non dovrebbe essere la lunghezza propria ossia quella massima possibile? Immagino stia utilizzando in modo improprio le trasformazioni di Lorentz... Cosa c'è che non va?

[Shackle]

Ciao. Spesso si commette questo errore. Fai riferimento alla figura sotto spoiler.

Sono dati due eventi A e B , contemporanei nel riferimento mobile (quello con apice) ; quindi la differenza temporale nel loro riferimento è zero. Le trasformazioni inverse di Lorentz sono quelle da te scritte, non le riscrivo. Mi interessa solo la prima , che consente di trovare le coordinate $x_A$ e $x_B$ dei due eventi nel riferimento fisso (senza apice) . Risulta, come hai scritto tu :

$x_B = gamma (x’_B +betact’_B)$
$x_A = gamma (x'_A + betact’_A)$

e quindi, facendo la differenza e tenendo conto che $t’_A = t’_B$ , si trova : $ x_B-x_A = gamma(x’_B-x’_A) $

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

ma se osservi bene la figura ti rendi conto che la differenza $ x_B-x_A$ non è uguale alla lunghezza contratta $L_c$ del segmento AB.
Immagina che AB sia un’astronave che transita con una certa velocità $v$ davanti all’ osservatore O fisso.Per trovare la $L_c$, lunghezza contratta, devi intersecare la striscia di piano delimitata dalle due rette temporali di A e B ( che sono parallele all’asse t’ ) con l’asse x , perche O deve misurare le ascisse degli estremi della nave AB contemporaneamente nel suo riferimento fisso; l’ho indicata in basso con $L_c$ , e vale :

$L_c = (L’)/\gamma = (x’_B-x’_A)/\gamma = (x_B-x_A)/\gamma^2 $

E questa, scritta senza dimostrazione, si può trovare anche analiticamente, potresti provarci?
Le coordinate $x_A$ e $ x_B$ , come vedi guardando l’asse temporale $ct$ di O, sono invece misurate a tempi diversi $t_A net_B$ del riferimento fisso.
Per trovare $L_c$ devi condurre per A la parallela all’asse x, fino ad arrivare sulla linea di universo di B.

[ValeForce]

Ciao Shackle, grazie per la risposta
Quindi il problema quando scrivo $x_B- x_A > x_B'-x_A'$ è che in realtà esse non sono riferite alla stessa lunghezza?
Cioè $L_c != x_B - x_A$ perché $t_A != t_B$ quindi $x_B-x_A$ non è una misura di quella lunghezza effettuata dall'osservatore O fisso?
Allora per dimostrare quanto detto da te penso si proceda così:
Sia $\Sigma$ il riferimento dell'osservatore fisso in O e $\Sigma '$ il riferimento solidale agli eventi A e B di velocità $v$ rispetto a $\Sigma$. Vediamo come si contrae la lunghezza per $\Sigma$
\[ \begin{cases} x=\gamma(x'+\beta ct') \\ ct=\gamma (\beta x'+ct') \end{cases} \]
Per quanto detto prima, la misura della distanza spaziale tra gli eventi A e B deve avvenire contemporaneamente per $\Sigma$. Poniamo quindi $t_A=t_B$ e lunghezza propria $L' = x_B' -x_A'$
Ne segue che $\Delta x= L_c$ e troviamo la condizione
\[ \begin{cases} \Delta x=L_c=\gamma(L'+\beta c \Delta t') \\ 0=\gamma (\beta L'+c \Delta t') \end{cases} \]
Usando anche la seconda relazione
$$L_c= \gamma(L'-\beta ^2 L') =\gamma(1-\beta ^2)L'=\frac{L'}{\gamma}$$
D'altra parte $\Sigma '$ è solidale agli eventi, quindi per la prima trasf. di Lorentz che ho scritto si ha $\Delta x= \gamma \Delta x'$
Da cui la catena di uguaglianze da te proposta. Fammi sapere se è tutto giusto, anche quanto sono stati precisi i termini e il linguaggio che ho usato. Buona parte di questa mattinata la ho usata per riflettere su tutto ciò.

[Shackle]

Ora sono fuori casa , e vado di corsa. Stasera avrò piu tempo.
LA faccio più semplice, perchè hai capito ma c’è ancora qualcosa che non va. Guarda questa nuova figura:

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

ho spostato l’origine O nell’evento A, gli assi $(t,x)$ sono quelli fissi , gli assi $(t’_A, x’)$ sono quelli mobili. Quando un solo OI lavora sul diagramma di Minkowski, può fare geometria euclidea. Ho scritto le eq cartesiane delle rette $t’_A$ , $t’_B$ , e $x’$ . Il punto B è intersezione della retta $x’$ con la retta $t’_B$ , quindi trovo le sue coordinate nel rif fisso :

$x_B = gamma^2L_c$ , che evidentemente è maggiore di $L_c$

$t_B = vx_B = gamma^2L_cv$

Ritorno ora con le TL alle coordinate di B nel rif in moto : $ x’_B = gamma (x_B - vt_B) = gamma L_c = L’$

$t’_B = 0 $ , poiché B è sulla retta di contemporaneità di A .

Scusa ma ora non posso soffermarmi di più

[ValeForce]

Intanto grazie per il pensiero ma non c'è così tanta urgenza!
Immagino che nella fretta hai scritto $v$ al posto di $\beta$. Se così non è ... non capisco perché non mi tornano i tuoi conti... tra l'altro l'equazione $t= vx$ non mi sembra corretta dimensionalmente. Comunque mettendo $\beta$ al posto di $v$ ho ottenuto tutti i risultati TRANNE $t'_B=0$ usando $t'_B=\gamma (t_B-v/c^2 x_B)!=0$... Sinceramente non sono riuscito nemmeno a cogliere cosa volessi dirmi stavolta!

[Shackle]

Le eq sono tutte giuste, v è uguale a v/c , adimensionale . Il tempo t è Uguale a ct , con c=1 , quindi t si misura in metri , come lo spazio x .
Ricava le eq cartesiane delle rette , ponendo t=y , e scrivi y = mx, con m = coefficiente angolare, oppure anche y= mx + n , e vedrai che torna tutto. La RR presenta a prima vista eq che sembrano sbagliate dimensionalmente, ma occorre riflettere e farci l’abitudine.

[ValeForce]

Certo, le equazioni delle rette ho capito come le hai ricavate!
Se $c=1$ mi torna anche $t'_B=0$ e ci sono su tutto quello che hai fatto. Non sapevo funzionasse così in RR anche perché nei libri finora non mi è capitato (o forse non ci ho fatto caso?) e il mio professore non ne ha mai fatto cenno...
Però non ho ancora capito perché hai voluto mostrarmi tutto ciò, cambiando l'origine in A, in base a quello che abbiamo detto prima.

[Shackle]

Con l’origine in A è tutto più semplice. Dal grafico vedi subito che $x_B >L_c$ , e puoi calcolare la lunghezza $L’$ di quiete con una semplice trasformazione di Lorentz, come ti ho fatto vedere.
Avevi un dubbio, ti ho risposto. In quanto a $t’_B = 0 $ :

$t’_B = gamma(t_B - vx_B) = gamma (gamma^2vL_c - vgamma^2L_c) = 0 $

D’altronde , ripeto che $B$ è sull’asse $x’$ , guarda la figura, quindi è contemporaneo ad $A$.
Non confondere la quantità $t’_B$ con il nome che ho dato all’asse temporale $t’_B$ passante per $B$ .

[ValeForce]

Beh si in effetti è più evidente così! Tutto chiaro. Volevo solo aggiungere che questo problema è nato dal fatto che definendo il quadrivettore densità di corrente, si hanno le trasformazioni di Lorentz per la coppia $(\vec{J}, \lambda)$ e volevo vedere io a mano che si verificasse un analogo della dilatazione dei tempi per la densità di carica lineare ed un analogo della contrazione delle lunghezze per la densità di corrente. Chiaramente basta fare le stesse identiche cose fatte prima dato che la struttura matematica è la stessa (sono sempre trasformazioni di Lorentz!)

[Shackle]

Si, certo, densità di corrente e di carica elettrica si modificano a seguito della contrazione delle lunghezze, c’è sempre un 4-vettore che si trasforma secondo le TL , alla stessa maniera di un qualunque 4-vettore.

Comunque, la contrazione delle lunghezze si può trattare anche in altre maniere più tradizionali. Se fai una ricerca con la funzione “cerca...” , in alto a destra, digitando “contrazione lunghezze” , vengono fuori più di 140 messaggi. Eccone alcuni :

https://www.matematicamente.it/forum/vi ... e#p8417496

https://www.matematicamente.it/forum/vi ... 35#p813457

Sotto spoiler ho messo una delle tante che si trovano in giro :

Testo nascosto, fai click qui per vederlo