esercizio integrale triplo

[pilloeffe]

il procedimento è corretto?

No.
Mi risulta l'integrale seguente:

$ \int_0^(2\pi)\int_0^R \rho \text{d}\rho \int_(h/R \rho)^h x^3 \text{d}x $

ove $h = 1 $ e $R = 2 $, ma conviene tenersi $h $ e $R $ nel calcolo dell'integrale e poi alla fine sostituire i valori numerici di $h$ e $R$.
Pertanto si ha:

$ \int_0^(2\pi)\int_0^R \rho \text{d}\rho \int_(h/R \rho)^h x^3 \text{d}x = 2\pi \int_0^R \rho [x^4/4]_{h/R \rho}^h \text{d}\rho = 2 \pi \int_0^R [h^4/4 \rho - h^4/(4R^4)\rho^5] \text{d}\rho = $
$ = \pi h^4 \int_0^R [1/2 \rho - 1/(2R^4)\rho^5] \text{d}\rho = \pi h^4 [1/4 \rho^2 - 1/(12R^4)\rho^6]_0^R = \pi h^4 [1/4 R^2 - 1/(12) R^2] = 1/6 \pi h^4 R^2 $

Per $h = 1 $ e $R = 2 $ si ottiene $ 2/3 \pi $, pertanto la risposta corretta è la 4).

[cri98]

ciao pilloeffe,
ok grazie, adesso ho capito come procedere. ho risolto altri esercizi simili e non ho trovato difficoltà, l'unico in cui riscontro problemi e il seguente:
$intintint_(v)x dv $dove ${v>=sqrt(y^2+z^2)$, $ 0<=x<=1}$

ottengo come risultato$ 1/4 pi$ che non torna con i possibili risultati
1) $ 2pi $
2) $ 3pi $
3) $ pi $
4) $ 4pi $
ho risolto il seguente integrale:
$int_0^(2pi)int_(0)^(R)int_(h/(R)rho)^(h)x dx$
h=1
R=1

Grazie!

[pilloeffe]

Scrivi bene, se no ti sbagli...
Vuoi dire

$\int\int\int_v x \text{d}x \text{d}y \text{d}z $
ove $v = {(x,y,z) \in \RR^3: x >= sqrt(y^2+z^2), 0 <= x <= 1} $

In tal caso dopo la trasformazione in coordinate cilindriche l'integrale da risolvere è il seguente:

$\int_0^(2pi) \text{d}\theta \int_0^R \int_(h/R \rho)^h x \text{d}x \rho \text{d}\rho $

con $h = R = 1 $. Si ha:

$\int_0^(2pi) \text{d}\theta \int_0^R \int_(h/R \rho)^h x \text{d}x \rho \text{d}\rho = 2\pi \int_0^R [x^2/2]_{h/R \rho}^h \rho \text{d}\rho = 2\pi \int_0^R [h^2/2 \rho - h^2/(2R^2) \rho^3] \text{d}\rho =$
$ = \pi h^2 \int_0^R [\rho - 1/(R^2) \rho^3] \text{d}\rho = \pi h^2 [\rho^2/2 - 1/(4R^2) \rho^4]_0^R = 1/4 \pi h^2 R^2 $

Per cui per $h = R = 1 $ anche a me risulta $1/4 \pi $