da Martino » 26/01/2020, 13:01
Ciao. Vedo molta confusione teorica. Chiariamo un paio di cose: dici "centro di un gruppo ciclico" ma il gruppo $G$ che proponi non è ciclico. Dici che è un prodotto "diretto" ma poi scrivi $H<gamma>$ che come notazione generale indica un prodotto interno generico tra sottogruppi, cioè se $A$ e $B$ sono sottogruppi di $G$ definiamo
$AB={ab : a in A, b in B}$
Ora nel tuo caso $G=H<gamma>$ è un prodotto di sottogruppi, ma non è "prodotto diretto di gruppi ciclici" (come dici) perché
1. Non è diretto
(Sai cos'è un prodotto diretto?)
2. $H$ in generale non è ciclico
(Sai cos'è un gruppo ciclico?)
Detto questo quello che vale in generale è questo: se $G=AB$ con $A,B$ sottogruppi (o anche sottoinsiemi) di $G$ allora un elemento di $G$ sta nel centro di $G$ se e solo se commuta con ogni elemento di $G$ (per definizione di centro) e in questo caso è facile vedere che questo è equivalente a dire che tale elemento commuta con ogni elemento di $A$ e con ogni elemento di $B$, cioè
$Z(G)=Z(AB)=C_G(A) nn C_G(B)$.
Qui se $X$ è un sottoinsieme di $G$ allora $C_G(X)$ indica il centralizzante di $X$ in $G$, cioè l'insieme degli elementi di $G$ che commutano con ogni elemento di $X$.
In generale non c'è un modo semplice di calcolare tali centralizzanti. Dipende dalla situazione particolare. L'esempio che hai dato in $Sym(6)$ è uno dei tanti che devi risolvere o è l'unico che devi risolvere? Le questioni specifiche non sempre ammettono generalizzazioni.
Magari rispondi a queste domande, poi ripartiremo da qui.
Le persone che le persone che le persone amano amano amano.