Integrali doppi: dominio x-semplice/y-semplice

[Bianca_]

Ciao a tutti!
Devo risolvere il seguente esercizio ma credo di avere problemi con la definizione di dominio x-semplice e y-semplice.

(Integrale doppio) (x+y)dxdy

D=(x>=0, y>=0, (1-x)<=y<=(1-(x/2))

Guardando il grafico che ho disegnato, per me il dominio è sia x-semplice che y-semplice.
Ma cosi non è. Risulta solo y-semplice.
Non riesco a capire il perche

[Mephlip]

Qui hai il grafico
https://www.wolframalpha.com/input/?i=p ... %3D1-x%2F2
Come puoi notare, solo la $y$ varia tra due valori numerici (nello specifico $0\leqy\leq1$), mentre la $x$ varia tra due curve (le rette espresse in funzione di $y$); quindi, a meno di spezzare l'insieme di integrazione in due insiemi, l'insieme è semplice solo rispetto a $y$.

[Bianca_]

Mm qualcosa non mi torna.
Quindi stai dicendo che non è anche x-semplice perchè in corrispondenza dell'intervallo [0,2] (considerando la x), la y varia tra due curve diverse (le due rette di cui sopra in un tratto e la retta y=1-x e x=0) ?

[Mephlip]

Sì, per $x\in[0,1]$ devi considerare $1-x\leqy\leq1-\frac{x}{2}$ mentre per $x\in[1,2]$ devi considerare $0\leqy\leq1-\frac{x}{2}$.
Come vedi, tutto l'insieme non può essere considerato semplice rispetto ad $x$; scrivendolo come due insiemi sì invece.
Detto brutalmente: dominio $x$ semplice significa che la $x$ varia in un intervallo numerico e la $y$ varia tra due funzioni $f_1(x)$ ed $f_2(x)$, ossia $f_1(x)\leqy\leqf_2(x)$.
Tuttavia, in questo caso, c'è un "cambio" di $f_1(x)$ nel punto $x=1$ (si passa da $f_1(x)=1-x$ ad $\tilde{f} _1(x)=0$), perciò non è rispettata la definizione di dominio semplice rispetto ad $x$.

[Bianca_]

Scusami ma la definizione che ho io di x-semplice mi sembra diversa..
y appartiene [c,d] e g1(y)<=x<=h2(y)

quindi è la y a dover variare tra due valori numerici..

Non riesco proprio a capire

[Mephlip]

Ok! C'è un po' di ambiguità, alcuni lo chiamano "semplice" e altri lo chiamano "normale"; per me semplice significa normale (confronta qui https://it.wikipedia.org/wiki/Dominio_semplice e qui https://www.youmath.it/forum/analisi-2n ... plice.html) e quindi non ci capivamo.
Comunque la sostanza non cambia, nella tua nomenclatura l'insieme è $x$-semplice ma non è $y$-semplice per il motivo che ti ho detto prima: anche se riesci a definire un intervallo numerico per la $x$ (ossia $x\in[0,2]$) non riesci a definirne uno unico per la $y$ (infatti devi cambiare la funzione nell'estremo sinistro dell'intervallo quando c'è l'intersezione in $x=1$).
Quindi non mi torna con la "soluzione", ossia non mi torna questo

Risulta solo y-semplice.

Ma la definizione e l'esercizio sono dati dal tuo docente? O uno è del docente e l'altro è del libro? Magari usano convenzioni diverse e quindi non ti torna, a me risulta solo $x$-semplice.

[pilloeffe]

Ciao Bianca_,

L'integrale proposto è il seguente:

$\int\int_D (x + y)\text{d}x \text{d}y $

ove $D = {(x, y) \in \RR^2 : x >= 0, y >= 0, 1-x <= y <= 1 - x/2} $

Guardando il grafico che ho disegnato, per me il dominio è sia x-semplice che y-semplice.
Ma cosi non è. Risulta solo y-semplice.

Infatti è così, risulta solo $y$-semplice, cioè normale all'asse $y$: ti ha già spiegato tutto Mephlip, quindi non mi dilungo oltre su questo punto. Ciò non toglie che l'integrale proposto sia "semplice" anche se calcolato rispetto a $x$, basta dividere $D$ in due sottodomini come ti ha già spiegato Mephlip:

$ \int\int_D (x + y)\text{d}x \text{d}y = \int_0^1 (\int_{1 - x}^{1 - x/2} (x + y)\text{d}y) \text{d}x + \int_1^2 (\int_0^{1 - x/2} (x + y)\text{d}y) \text{d}x $

Invece, sfruttando il fatto che il dominio è $y$-semplice, puoi risolverlo con un solo integrale:

$ \int\int_D (x + y)\text{d}x \text{d}y = \int_0^1 (\int_{1 - y}^{2 - 2y} (x + y)\text{d}x) \text{d}y $

Per esercizio potresti provare a risolvere l'integrale proposto prima in un modo e poi nell'altro: naturalmente dovresti ottenere lo stesso risultato...

[Bianca_]

Grazie ad entrambi per la risposta.
Sono però ancora più confusa.

Ho le seguenti definizioni:
y-semplice= x appartiene [a,b] g1(x)<=y<=g2(x)

x-semplice= y appartiene [c,d] h1(y)<=x<=h2(y)

Nell'esempio è x-semplice o y-semplice?

E ora non riesco nemmeno graficamente a rendermi conto del perchè.

[pilloeffe]

Grazie ad entrambi per la risposta.

Prego.

Sono però ancora più confusa.
Ho le seguenti definizioni:
y-semplice= x appartiene [a,b] g1(x)<=y<=g2(x)

x-semplice= y appartiene [c,d] h1(y)<=x<=h2(y)

Mi sa che devi correggere le definizioni: il primo è $x$-semplice (normale rispetto a $x$), il secondo è $y$-semplice (normale rispetto a $y$)...
Dai un'occhiata qui e qui.

[Bianca_]

Scusate ma continuo a non capire.

Ho il grafico di cui sopra.
Per capire se è x-semplice e/o y-semplice devo avere una variabile compresa tra due funzioni e l'altra tra due valori numerici. Giusto?

Come faccio visivamente a valutare che tipo di dominio è?
Potete dirmi in entrambi casi dove variano x e y?
Ho capito che spezzate il dominio ma non riesco a "vederlo".