Esercizio diagonalizzabilità

Messaggioda Lorenzo_99 » 26/01/2020, 19:39

Buonasera, in un esercizio a risposta multipla mi viene data la matrice associata ad un endomorfismo e devo dire se è diagonalizzabile, se non è perchè ad esempio l'autospazio ha dimensione diversa dalla molteplicità algebrica ecc. In generale come posso essere risolti senza calcolare gli autovalori e gli autospazi? Abbiamo circa 1 minuto e mezzo a domanda e non è fattibile (visto che a volte ce ne sono anche 2 di questo tipo) riuscire a calcolare gli zeri del polinomio caratteristico di quarto grado (o più) con Ruffini e successivamente calcolare gli autospazi.
Due esempi sono:

1) \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}
2) \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}
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Re: Esercizio diagonalizzabilità

Messaggioda Bokonon » 26/01/2020, 20:01

Usa le info disponibili. Ne elenco alcune:
a) le matrici triangolari superiori/inferiori o diagonali hanno gli autovalori in bella mostra sulla diagonale
b) la somma degli autovalori è uguale alla traccia
c) il prodotto degli autovalori è u guale al determinante.
d) scambiando due righe il determinante cambia di segno
e) colonne composte solo da zeri + un valore che sta sulla diagonale, sono autovettori
Prova ad usare queste info per risolvere i due esercizi
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Re: Esercizio diagonalizzabilità

Messaggioda Lorenzo_99 » 26/01/2020, 20:52

Bokonon ha scritto:Usa le info disponibili. Ne elenco alcune:
a) le matrici triangolari superiori/inferiori o diagonali hanno gli autovalori in bella mostra sulla diagonale
b) la somma degli autovalori è uguale alla traccia
c) il prodotto degli autovalori è u guale al determinante.
d) scambiando due righe il determinante cambia di segno
e) colonne composte solo da zeri + un valore che sta sulla diagonale, sono autovettori
Prova ad usare queste info per risolvere i due esercizi

Allora il primo l'ho risolto utilizzando la (a): ho l'autovalore $1$ con molteplicità algebrica = 4. Sottraendo nella matrice l'autovalore ottengo \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} da cui ottengo che l'autospazio ha dimensione 2, dunque non è diagonalizzabile.

Per il secondo esercizio invece non saprei come fare. Forse perchè non ho capito l'utilizzo/utilità della (b) e della (c)? Nel senso, una volta che sò che la somma degli autovalori è uguale alla traccia oppure che il loro prodotto è uguale al determinante? Nell'esercizio due ad esempio non ho modo neanche di trovare gli autovalori. Se scambiassi la seconda con la terza riga otterrei che l'autovalore è sempre $1$ con molteplicità 4 ma sarebbe sbagliato.
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Re: Esercizio diagonalizzabilità

Messaggioda Lorenzo_99 » 26/01/2020, 21:01

Sergio ha scritto:La seconda è diagonalizzabile perché simmetrica.

Mi serve però sapere anche la molteplicità degli autovalori e dei relativi autospazi in quanto, essendo a risposta multipla, ce ne sono di diverse che dicono sia diagonalizzabile. Per esempio una potrebbe dire che è diagonalizzabile perchè l'autovalore triplo ha l'autospazio di dimensione 3, oppure che sia diagonalizzabile su $\CC$ ma non su $\RR$ ecc.
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Re: Esercizio diagonalizzabilità

Messaggioda Bokonon » 26/01/2020, 21:08

Sergio ha scritto:La seconda è diagonalizzabile perché simmetrica.

Abbi pazienza Sergio :(
Poi aggingerò altre "regole", ma adesso volevo proprio che utilizzasse quelle.

@Lorenzo99
La seconda matrice è simmetrica, quindi è sempre diagonalizzabile per il Teorema Spettrale.
Mentre le matrici antisimmetriche non sono mai diagonalizzabili in campo reale.

Detto questo, modifico il secondo esercizio:
$A= ( ( a , 0 , 0 , 0 ),( 0 , 0 , c , 0 ),( 0 , b , 0 , 0 ),( 0 , 0 , 0 , d ) ) $
Inverti mentalmente la seconda e terza riga e calcola il determinante, quindi $det(A)=-?$ dove $?$ èil determinante che hai calcolato mentalmente.
Moltiplica la A per la prima colonna (e successivamente per la quarta) e dimmi cosa succede.
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Re: Esercizio diagonalizzabilità

Messaggioda Lorenzo_99 » 26/01/2020, 21:26

Bokonon ha scritto:Detto questo, modifico il secondo esercizio:
$A= ( ( a , 0 , 0 , 0 ),( 0 , 0 , c , 0 ),( 0 , b , 0 , 0 ),( 0 , 0 , 0 , d ) ) $
Inverti mentalmente la seconda e terza riga e calcola il determinante, quindi $det(A)=-?$ dove $?$ èil determinante che hai calcolato mentalmente.

Con LaPlace, dopo aver fatto i conti, ottengo $det(A)=acbd$.

Bokonon ha scritto:Moltiplica la A per la prima colonna (e successivamente per la quarta) e dimmi cosa succede.

Utilizzando il prodotto matrice per colonna:
\(\begin{pmatrix} a & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & c & 0 \\ 0 & b & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & d \end{pmatrix}\begin{pmatrix} a \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a^2 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\)

\(\begin{pmatrix} a & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & c & 0 \\ 0 & b & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & d \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ d^2 \end{pmatrix}\)
E adesso? :?:
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Re: Esercizio diagonalizzabilità

Messaggioda Bokonon » 26/01/2020, 21:48

Ok, non era quello lo scopo. Non dovevi usare Laplace, ma notare che se inverti la seconda e terza colonna avevi una matrice diagonale: quindi il determinante è il prodotto degli elementi sulla diagonale $abcd$.
Ma visto che la matrice che ci interessa differisce per uno scambio di righe, allora $det(A)=-abcd$
(hai sbagliato anche usando Laplace :) ).

Hai fatto i prodotti e non hai notato nulla. I vettori risultanti non sono altro che $ a( ( a ),( 0 ),( 0 ),( 0 ) ) $ e $ d( ( 0 ),( 0 ),( 0 ),( d ) ) $. Tradotto quelle due colonne sono due autovettori il cui autovalore è proprio l'elemento non nullo. Riflettici e memorizzalo perchè, come vedi, la regola e) ti da una marea di informazioni.
Quindi (una volta che ti sarai esercitato) senza manco scrivere nulla sul foglio sai già 2 autovalori (e pure due autovettori) e il determinante della matrice. Ok?

Applicando la regola b) sappiamo che $lambda_1+lambda_2+lambda_3+lambda_4=Tr(A)=a+d$
Applicando la regola c) sappiamo che $lambda_1lambda_2lambda_3lambda_4=det(A)=-abcd$
Conosciamo anche due autovalori, ovvero $lambda_1=a$ e $lambda_2=d$.
Mettendo insieme le info avremo che $lambda_3+lambda_4=0$ e $lambda_3lambda_4=-bc$
Ora, poichè $lambda_3=-lambda_4$ sappiamo già che ci sono 4 autovalori diversi (per a,b,c,d diversi) e quindi è diagonalizzabile. Però se uno volesse trovare gli ultimi due autovalori dovrebbe solo risolvere il sistema.
Nota che se avessimo trovato ad occhio un solo autovettore/autovalore, il sistema a tre variabili non ci avrebbe aiutato granchè.

Comunque, con uno sguardo, sarai in grado di dire che la matrice A è diagonalizzabile perchè ha 4 autovalori distinti.
Riesci a capire adesso cosa ti sto insegnando?
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Re: Esercizio diagonalizzabilità

Messaggioda Lorenzo_99 » 26/01/2020, 22:10

Bokonon ha scritto:Ok, non era quello lo scopo. Non dovevi usare Laplace, ma notare che se inverti la seconda e terza colonna avevi una matrice diagonale: quindi il determinante è il prodotto degli elementi sulla diagonale $abcd$.
Ma visto che la matrice che ci interessa differisce per uno scambio di righe, allora $det(A)=-abcd$
(hai sbagliato anche usando Laplace :) ).

Dopo aver finito il determinante ci ho aggiunto un altro meno per qualche arcaica ragione :-D

Bokonon ha scritto:Hai fatto i prodotti e non hai notato nulla. I vettori risultanti non sono altro che $ a( ( a ),( 0 ),( 0 ),( 0 ) ) $ e $ d( ( 0 ),( 0 ),( 0 ),( d ) ) $. Tradotto quelle due colonne sono due autovettori il cui autovalore è proprio l'elemento non 0. Riflettici e memorizzalo perchè, come vedi, la regola e) ti da una marea di informazioni.
Quindi (una volta che ti sarai esercitato) senza manco scrivere nulla sul foglio sai già 2 autovalori (e pure due autovettori) e il determinante della matrice. Ok?

Applicando la regola b) sappiamo che $ lambda_1+lambda_2+lambda_3+lambda_4=Tr(A)=a+d $
Applicando la regola c) sappiamo che $ lambda_1lambda_2lambda_3lambda_4=det(A)=-abcd $
Conosciamo anche due autovalori, ovvero $ lambda_1=a $ e $ lambda_2=d $.
Mettendo insieme le info avremo che $ lambda_3+lambda_4=0 $ e $ lambda_3lambda_4=-bc $
Ora, poichè $ lambda_3=-lambda_4 $ sappiamo già che ci sono 4 autovalori diversi (per a,b,c,d diversi) e quindi è diagonalizzabile. Però se uno volesse trovare gli ultimi due autovalori dovrebbe solo risolvere il sistema.
Nota che se avessimo trovato ad occhio un solo autovettore/autovalore, il sistema a tre variabili non ci avrebbe aiutato granchè.

Comunque, con uno sguardo, sarai in grado di dire che la matrice A è diagonalizzabile perchè ha 4 autovalori distinti.
Riesci a capire adeso cosa ti sto insegnando?

Credo di aver capito tutto. Adesso devo fare un po' di pratica. :smt023
Ultima modifica di Lorenzo_99 il 27/01/2020, 00:14, modificato 1 volta in totale.
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Re: Esercizio diagonalizzabilità

Messaggioda Bokonon » 26/01/2020, 22:15

Ok, comincia risolvendo il secondo esercizio originale con cui hai aperto il thread...ma solo fissando lo schermo.
Sai già che diagonalizzabile perchè è una matrice simmtrica...trova gli autovalori e scopri perchè la m.a.=m.g. usando solo la testa (se ci riesco io alla cieca, ci riesci anche tu 4 volte più velocemente).
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Re: Esercizio diagonalizzabilità

Messaggioda Bokonon » 26/01/2020, 23:53

Il consiglio di Sergio è ottimo
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