Esercizi su coniche

[Simo15STI]

Salve, qualcuno ha idea su come risolvere i seguenti esercizi?

-Se possibile, scrivere le equazioni di due coniche distinte tali che la loro intersezione sia costituita da tutti e soli i punti dell’asse X. Altrimenti, motivare il perché.

-Se possibile, scrivere l’equazione di un’ellisse immaginaria che passi per l’origine O(0, 0). Altrimenti, motivare il perché.

Grazie.

[gugo82]

Sono domande di una banalità disarmante, quindi le idee ce le abbiamo… Ma tu cos'hai provato? Hai pensato a qualcosa?
Quali tipi di coniche ti vengono in mente per il primo esercizio?

E che tipo di ellisse ti viene in mente per il secondo?

[Simo15STI]

Sono domande di una banalità disarmante, quindi le idee ce le abbiamo… Ma tu cos'hai provato? Hai pensato a qualcosa?
Quali tipi di coniche ti vengono in mente per il primo esercizio?

E che tipo di ellisse ti viene in mente per il secondo?

Riguardo il primo esercizio ho pensato a queste due: Y^2=0 e 7(Y)^2=0, l'intersezione da Y=0, però non sono convinto di questo risultato, in quanto queste non mi sembrano due coniche distinte.
Per il secondo invece, partendo dall'equazione canonica dell'ellisse immaginaria x^2/a^2 + y^2/b^2 =-1, impongo il passaggio per l'origine O(0,0) e ottengo l'equazione 0/a^2 + 0/b^2=-1 ed è quì che non riesco ad andare avanti. Sicuramente ho sbagliato ragionamento però non mi vengono in mente altre soluzioni. Capisco che possono sembrare domande banali ma spesso mi blocco proprio su quelle poichè inizio a pormi mille dubbi.

[gugo82]

Sono domande di una banalità disarmante, quindi le idee ce le abbiamo… Ma tu cos'hai provato? Hai pensato a qualcosa?
Quali tipi di coniche ti vengono in mente per il primo esercizio?

E che tipo di ellisse ti viene in mente per il secondo?

Riguardo il primo esercizio ho pensato a queste due: Y^2=0 e 7(Y)^2=0, l'intersezione da Y=0, però non sono convinto di questo risultato, in quanto queste non mi sembrano due coniche distinte.

Chiaro che non sono distinte… Le equazioni sono proporzionali!

Una va bene $y^2=0$ (due rette coincidenti).
Per l’altra, prendi due rette parallele, o incidenti, una delle quali è $y=0$.

Per il secondo invece, partendo dall'equazione canonica dell'ellisse immaginaria x^2/a^2 + y^2/b^2 =-1, impongo il passaggio per l'origine O(0,0) e ottengo l'equazione 0/a^2 + 0/b^2=-1 ed è quì che non riesco ad andare avanti.

È chiaro che se prendi l’equazione canonica e pretendi di imporre il passaggio per $O$ non ne cavi nulla, perché c’è un termine noto $!=0$ (questa cosa dovrebbe essere una cosa nota dalle superiori: se una curva algebrica passa per $O$, la sua equazione non deve avere termine noto).
Quello che puoi pensare di fare, poco elegantemente ma in modo da risolvere, è prendere la generica equazione dell’ellisse per $O$, cioè $a_(11) x^2 + 2a_(12) xy + a_(22) y^2 + 2a_(13) x + 2a_(23) y = 0$, e vedi se puoi imporre ai coefficienti, i.e. alla matrice simmetrica $A=((a_(11), a_(12), a_(13)), (a_(12), a_(22), a_(23)), (a_(13), a_(23), 0))$, le condizioni che fanno venire fuori un’ellisse immaginaria.

Poi qualcuno più ferrato in Geometria proporrà una soluzione meno contosa, ma ora come ora questa è l’unica cosa che mi viene in mente.

[Bokonon]

Io ho preso l'equazione canonica dell'ellisse immaginaria, ho posto $a=1$ e $b=2$ e ho traslato l'ellisse con $x'=x+1$
Andrebbe bene?

[Simo15STI]

Una va bene $y^2=0$ (due rette coincidenti).
Per l’altra, prendi due rette parallele, o incidenti, una delle quali è $y=0$.

Se ho capito bene, $y^2=0$ e $y^2 - 4y=0$ possono andare bene?

Quello che puoi pensare di fare, poco elegantemente ma in modo da risolvere, è prendere la generica equazione dell’ellisse per $ O $, cioè $ a_(11) x^2 + 2a_(12) xy + a_(22) y^2 + 2a_(13) x + 2a_(23) y = 0 $, e vedi se puoi imporre ai coefficienti, i.e. alla matrice simmetrica $ A=((a_(11), a_(12), a_(13)), (a_(12), a_(22), a_(23)), (a_(13), a_(23), 0)) $, le condizioni che fanno venire fuori un’ellisse immaginaria.

Poi qualcuno più ferrato in Geometria proporrà una soluzione meno contosa, ma ora come ora questa è l’unica cosa che mi viene in mente.

Cosa intendi con condizioni che fanno venire fuori un'ellisse immaginaria? Ho provato a cercare sul libro e tra le slide del professore ma non ho trovato niente.

Io ho preso l'equazione canonica dell'ellisse immaginaria, ho posto $ a=1 $ e $ b=2 $ e ho traslato l'ellisse con $ x'=x+1 $
Andrebbe bene?

Quindi dall'equazione canonica $x^2/a^2 + y^2/b^2=-1$ hai posto a=1 e b=2 e di conseguenza $x^2+y^2/4=-1$ poi non ho capito bene come hai traslato l'ellisse

[@melia]

Ma se l'ellisse è immaginaria, come può avere soluzioni reali? Perché $(0,0)$ è reale.