Soluzione di un sistema Hamiltoniano autonomo

Messaggioda obnoxious » 25/01/2020, 21:34

C'è un modo "ovvio" per trovare le soluzioni del sistema \[J \dot{u} + c \alpha |u|^{\alpha -2 } u = 0 \quad (*) \]dove \(c>0\), \( \alpha > 1 \), \( u=u(t) \in C^1 (\mathbb{R}; \mathbb{R}^{2N}) \) e \(J \) è la matrice simplettica?

Nel libro si dice più volte che \( u(t) = \cos( \omega t)\xi + \sin(\omega t) J \xi \) con \( \xi \in \mathbb{R}^{2N}\) risolve \( (*)\), ma come ci si arriva?
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Re: Soluzione di un sistema Hamiltoniano autonomo

Messaggioda solaàl » 26/01/2020, 09:10

Cercare una soluzione di modulo 1 ti toglie di mezzo \(|u|\), e a quel punto l'equazione diventa \(\dot u - \omega Ju=0\) (perché \(J^{-1}=-J\), in analogia con \(\sqrt{-1}^{-1}=-\sqrt{-1}\)). Adesso,
\[
e^{\omega J t} = \cos (\omega t)I + J\sin(\omega t)
\] (perché l'esponenziale di una matrice antisimmetrica è ortogonale). Non è quello che hai scritto tu, ma ci somiglia, e forse bodgeare questa soluzione te ne dà una per la tua equazione!
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Re: Soluzione di un sistema Hamiltoniano autonomo

Messaggioda dissonance » 26/01/2020, 18:31

"Bodgeare"=? :-)

Penso che obnoxious abbia dimenticato di specificare che \(\lvert \xi\rvert=1\). Se è così, le soluzioni del libro sono tutte e sole quelle trovate correttamente da solàal. Non mi sembra proprio che, se \(\lvert\xi\rvert\ne1\), \(e^{\omega J t}\xi\) sia una soluzione dell'equazione data.
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Re: Soluzione di un sistema Hamiltoniano autonomo

Messaggioda solaàl » 26/01/2020, 18:57

A volte, quando si programma, un "bodge" è una soluzione che dal lato di chi deve usare il codice funziona senza che si noti nulla di strano, ma che dal lato di chi lo ha scritto è tenuta insieme con lo sputo e senza nessun rispetto per l'estetica.
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Re: Soluzione di un sistema Hamiltoniano autonomo

Messaggioda gugo82 » 26/01/2020, 19:11

Insomma, il "pezzotto"... :lol:
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Re: Soluzione di un sistema Hamiltoniano autonomo

Messaggioda obnoxious » 26/01/2020, 21:53

solaàl ha scritto:Cercare una soluzione di modulo 1 ti toglie di mezzo \(|u|\), e a quel punto l'equazione diventa \(\dot u - \omega Ju=0\) (perché \(J^{-1}=-J\), in analogia con \(\sqrt{-1}^{-1}=-\sqrt{-1}\)). Adesso,
\[
e^{\omega J t} = \cos (\omega t)I + J\sin(\omega t)
\] (perché l'esponenziale di una matrice antisimmetrica è ortogonale). Non è quello che hai scritto tu, ma ci somiglia, e forse bodgeare questa soluzione te ne dà una per la tua equazione!

Ok sì, si fa praticamente così. Il trucco qui - e non me n'ero accorto - è che l'Hamiltoniana, che è \( H(u)=c |u|^\alpha \), è costante lungo le soluzioni. Se \( u \) è una soluzione e \( u(0) = \xi\), allora \( |u(t)| = |\xi| \) per ogni \(t\). Il resto sono conti.
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Re: Soluzione di un sistema Hamiltoniano autonomo

Messaggioda dissonance » 27/01/2020, 09:11

Ho capito. L'unica cosa da specificare è che \(\omega\) dipende da \(\lvert \xi \rvert\). Altrimenti la soluzione sarebbe lineare in \(\xi\).

solaàl ha scritto:Adesso,
\[
e^{\omega J t} = \cos (\omega t)I + J\sin(\omega t)
\] (perché l'esponenziale di una matrice antisimmetrica è ortogonale).

Sono d'accordo con la formula, ma per curiosità, cosa volevi dire con il commento in parentesi? Secondo me, l'esponenziale ha quella forma perché \(J^2=-I\), e quindi
\[
e^{\omegaJt}= \sum_{n=0}^\infty \frac{J^n \omega^n t^n}{n!}=\sum_{k=0}^\infty (-1)^k \frac{\omega^{2k}t^{2k}}{(2k)!} + J\sum_{k=0}^\infty (-1)^k\frac{\omega^{2k+1}t^{2k+1}}{(2k+1)!}.\]
Ora non so se c'è una spiegazione più intrinseca.
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Re: Soluzione di un sistema Hamiltoniano autonomo

Messaggioda solaàl » 27/01/2020, 09:56

E' la seconda volta in due giorni che mi fai una domanda di algebre di Lie :D conosci l'Hall (Lie groups, Lie algebras and representation)?

Metti insieme i pezzi: \((e^A)^t=e^{A^t}=e^{-A}=(e^A)^{-1}\), per ogni gruppo di Lie \(G\) la mappa esponenziale \(e : \mathfrak g \to G\) assume valori nella componente connessa di \(1_G\), e quindi \(e^A\) appartiene allo spazio delle matrici ortogonali a determinante 1, ossia \(SO(n)\).
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Re: Soluzione di un sistema Hamiltoniano autonomo

Messaggioda dissonance » 27/01/2020, 10:24

Ah era solo questo. Pensavo fosse una spiegazione senza serie di potenze della formula con seno e coseno.

conosci l'Hall (Lie groups, Lie algebras and representation)?
Si.
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Re: Soluzione di un sistema Hamiltoniano autonomo

Messaggioda solaàl » 27/01/2020, 11:23

dissonance ha scritto:Ah era solo questo. Pensavo fosse una spiegazione senza serie di potenze della formula con seno e coseno.
E' esattamente quello che è, dato che ogni elemento di $SO(2)$ si rappresenta come $\cos\alpha I_2 + \sin \alpha J_2$ per un unico numero reale $\alpha \in [0,2\pi)$...
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