Dubbio su una possibile proprietà

[mobley]

Mi scuso per l'eventuale banalità della domanda ma sto cercando in biblioteca su vari testi e non ho trovato nulla finora che mi confermasse o smentisse questo dubbio: se ho una v.a. $X$ con una certa distribuzione e definita su un certo intervallo, la v. inversa $X^(-1)$ avrà la medesima distribuzione e risulterà definita sul medesimo intervallo?
Il motivo si ricollega al post precedente, perchè nel calcolo del valore atteso di $W=(X+Y)/X$ la soluzione dà

$\mathbb(E)[W]=\mathbb(E)[Z^(-1)]=\int_0^1 1/zdz$

dove evidentemente $f(z^(-1))=f(z)$ con $Z~ U(0,1)$.

[ghira]

se ho una v.a. $X$ con una certa distribuzione e definita su un certo intervallo, la v. inversa $X^(-1)$ avrà la medesima distribuzione e risulterà definita sul medesimo intervallo?

Ci stai chiedendo, per esempio "Quando $X$ è fra 3 e 5 anche $\frac{1}{X}$ è fra 3 e 5?"? Questa non è nemmeno una domanda di probabilità.

[ghira]

se ho una v.a. $X$ con una certa distribuzione e definita su un certo intervallo, la v. inversa $X^(-1)$ avrà la medesima distribuzione e risulterà definita sul medesimo intervallo?

La domanda non sembra banale in generale. Chiaramente il "certo intervallo" deve essere scelto con cura.

Ho trovato questo https://en.wikipedia.org/wiki/Relations ... m_variable

[mobley]

In realtà la domanda si ricollega al post precedente, relativo alla distribuzione di $W=(X+Y)/X$. Il punto successivo chiede infatti di calcolare, se esiste, il valore atteso di $W$. Bene. Il docente scrive:

$\mathbb(E)[W]=\mathbb(E)[Z^(-1)]=\int_0^1 1/Zdz$

Ora, io so che $Z=X/(X+Y)~U(0,1)$ con densità $f_Z(z)=\mathbb(1)_[0,1](z)$, quindi non capisco se l'intervallo di integrazione vale in funzione di questa "eventuale" proprietà… Dopotutto, se $F_W(w)=1-1/wrArr$ $f(w)=1/w^2$ con $w>=1$, quindi se l'intervallo fosse scelto in funzione di $w$ dovremmo avere $[1,+\infty)$.

[tommik]

io veramente non so più cosa pensare....dopo anni ormai che studi Statistica.

Prendiamo la seguente proprietà:

$mathbb{E}[g(X)]=int_(-oo)^(+oo)g(x)f_X(x)dx$

quindi se $Z~U(0;1)$ allora evidentemente, essendo $f_Z(z)=mathbb{1}_((0;1))(z)$


$mathbb{E}[1/Z]=int_(-oo)^(+oo)1/zf_Z(z)dz=int_(0)^(1)1/zdz$

dato che l'integrale diverge, la media cercata non esiste.

Analogo risultato lo si troverà facendo i conti con la distribuzione di $W=1/Z$ e calcolando la media con un'altra formula

$mathbb{E}[W]=int_(-oo)^(oo)wf_W(w)dw=...=int_(1)^(oo)1/w dw$

dato che immediatamente trovi che $f_W(w)=1/w^2mathbb{1}_((1;oo))(w)$

ma sono tutti calcoli inutili (se ti viene fuori un risultato diverso fatti qualche domanda...)

Infine, una osservazione importante:

Se $2+2=4$ e $2xx2=4$ non è che da ciò si può dedurre che l'addizione porti al medesimo risultato della moltiplicazione...

[mobley]

La definizione di indicatrice… Grazie tommik!