Buongiorno, sto preparando l'esame di Metodi Matematici per l'Ingegneria, e in questo momento sono fermo agli esercizi sul teorema dei residui.
Sto provando a calcolare, nel campo complesso, gli integrali impropri di funzioni reali.
Sto avendo problemi con il seguente esercizio:
$ int_(-infty)^(+infty) ((x^2 +1) sin^2(pix))/ ((x^2+x+1)(x-1)^2) dx $
Per prima cosa ho trovato una f(z):
Considero che $ e^(2pixj) = cos(2pix) + jsen(2pix) $ . Esprimendo $ cos(2pix) = cos(pix + pix) $ , applico le formule di duplicazione del coseno, trovando:
$ e^(2pix) = cos^2(pix) - sen^2(pix) + 2jsen(pix)cos(pix) $ .
Quindi $ sen^2(pix) = (1- Re(e^(2pix)))/2 $ .
Fatta questa osservazione, esprimo $ f(z) = g(z) - h(z) $ , in cui $ g(z)= (z^2+1)/(2(z^2+z^1)(z-1)^2) $ e $ h(z) = ((z^2+1) e^(2pizj))/(2(z^2+z+1)(z-1)^2) $ , considerando di $ h(z) $ solo la parte Reale.
Premettendo che non sono sicuro del passaggio di scrivere f(z) come somma di due funzioni, ho pensato di calcolare l'integrale della funzione come la somma dei due integrali. È giusto?
Ho provato , utilizzando i lemmi di Jordan, a calcolare
$ int_(partial T) g(z) dz = int_(-R)^(1-epsilon ) g(x) dx - int_(Gamma epsilon ) g(z) dz + int_(1+epsilon)^(R) g(x) dx + int_(GammaR) g(z)dz $
A questo punto mi sono reso conto che la funzione g(z) possiede in 1 un polo doppio, quindi non posso applicare il lemma del piccolo cerchio, giusto?
Non sono andato oltre per via dei troppi dubbi/difficoltà che ho avuto.
Qualcuno potrebbe darmi delle dritte ed indicarmi, qualora fossero evidenti gravi mancanze, parti teoriche da ripassare?