Differenziabilità => Continuità: domande riguardo la dimostrazione

[DeltaEpsilon]

Se \(\displaystyle f(x,y) \) è differenziabile in \(\displaystyle (x_0,y_0) \Rightarrow f(x,y) \) è continua in \(\displaystyle (x_0,y_0) \)

Dimostrazione

Siccome \(\displaystyle f(x,y) \) è differenziabile per ipotesi, scrivo

[\(\displaystyle \bigstar \)] \(\displaystyle f(x_0+h,y_0+k) = f(x_0,y_0) + f_x(x_0,y_0)+f_y(x_0,y_0)+o(\sqrt{h^2+k^2}) \)

ovvero

\(\displaystyle f(x_0+h,y_0+k) = f(x_0,y_0) + \nabla f(x_0,y_0) \bullet (h,k) +o(\sqrt{h^2+k^2}) \)

Passo a limite

\(\displaystyle \lim_{(h,k)\rightarrow (0,0)} f(x_0+h,y_0+k) = f(x_0,y_0) + \lim_{(h,k)\rightarrow (0,0)} \nabla f(x_0,y_0) \bullet (h,k) + \lim_{(h,k)\rightarrow (0,0)}o(\sqrt{h^2+k^2}) \)

ma quell'o-piccolo tende a 0 per \(\displaystyle (h,k) \rightarrow (0,0) \) quindi rimane

\(\displaystyle \lim_{(h,k)\rightarrow (0,0)} f(x_0+h,y_0+k) = f(x_0,y_0) + \lim_{(h,k)\rightarrow (0,0)} \nabla f(x_0,y_0) \bullet (h,k) \)

Resta da dimostrare che quel prodotto scalare è nullo per poter concludere che f è continua.

Per la disuguaglianza di Cauchy-Schwarz vale che

\(\displaystyle 0 \: \leq \: |\nabla f(x_0,y_0) \bullet (h,k)| \: \leq \: |\nabla f(x_0,y_0)|\:\: |(h,k)| \)

e dunque per il teorema dei carabinieri il prodotto scalare tende a 0

Abbiamo quindi concluso che

\(\displaystyle \lim_{(h,k)\rightarrow (0,0)} f(x_0+h,y_0+k) = f(x_0,y_0) \)

ovvero che f è continua in \(\displaystyle (x_0,y_0) \)

----------------------

I miei dubbi a riguardo:

1) Il docente ha detto che la prima uguaglianza [\(\displaystyle \bigstar\)] non ha senso se non si specifica una cosa (riferendosi all'o-piccolo)... ma cosa? L'unica cosa che mi viene in mente è che \(\displaystyle (0,0) \) debba essere un punto di accumulazione... o che \(\displaystyle (h,k) \) debba tendere a \(\displaystyle (0,0) \) ...

2) Perchè bisogna utilizzare Cauchy-Schwarz per dimostrare che il prodotto scalare è zero? Se \(\displaystyle (h,k) \) tende a zero, e il prodotto scalare consiste nel moltiplicare le componenti, perchè non concludiamo sin da subito che il prodotto scalare è zero?

Grazie in anticipo.

[DeltaEpsilon]

Senza l'ultimo termine quell'uguaglianza non sarebbe un'uguaglianza, perché il secondo membro senza quel termine è un'approssimazione lineare al primo (che in generale non è lineare).

Ok, fin qui è chiaro... ma il docente diceva proprio che mancava qualcosa per poter avere senso quell'uguaglianza... come una precisazione, un dettaglio da specificare altrimenti l'o-piccolo piazzato così non voleva dire nulla

[gugo82]

Scusate, ma non si fa prima ad imitare la dimostrazione che si dà nel caso di una sola variabile?


P.S.: Manca $(h,k) -> (0,0)$ a margine della [\(\star\)], probabilmente.

[DeltaEpsilon]

Grazie

[DeltaEpsilon]

Per evitare l'apertura di un altro topic essenzialmente inutile e trovandoci in tema:

perchè queste due scritture sono equivalenti?

\(\displaystyle f(x_0+h,y_0+k) - f(x_0,y_0) - f_x(x_0,y_0)- f_y(x_0,y_0) - o(\sqrt{h^2+k^2}) \)

.

\(\displaystyle \frac{f(x_0+h,y_0+k) - f(x_0,y_0) - f_x(x_0,y_0)- f_y(x_0,y_0)}{\sqrt{h^2+k^2}} \)

La prima è stata utilizzata nella dimostrazione partendo dall'ipotesi che f è differenziabile

Qual è precisamente il legame fra le due espressioni per $(h,k) -> (0,0)$?

[Mathita]

\(\displaystyle f(x_0+h,y_0+k) - f(x_0,y_0) - f_x(x_0,y_0)- f_y(x_0,y_0) - o(\sqrt{h^2+k^2}) \)

.

Oltre al fatto che mancano un h e un k, ci dovrebbe essere il simbolo di uguale da qualche parte, altrimenti questa frase non ha senso.

La scrittura

\(\displaystyle f(x_0+h,y_0+k) - f(x_0,y_0) - f_x(x_0,y_0)h- f_y(x_0,y_0)k= o(\sqrt{h^2+k^2}) \mbox{ per}\ (h,k)\to (0,0) \)

è equivalente all'uguaglianza:

\(\displaystyle\lim_{(h,k)\to(0,0)}\frac{f(x_0+h,y_0+k) - f(x_0,y_0) - f_x(x_0,y_0)h- f_y(x_0,y_0)k}{\sqrt{h^2+k^2}}=0 \)

È praticamente la definizione analitica di o-piccolo.

[DeltaEpsilon]

Grazie mille

[DeltaEpsilon]

Ultima cosa: perchè quando passo al limite, l'o-piccolo va via per $(h,k)->(0,0)$ ?

[dissonance]

DeltaEpsilon, riporta qui la definizione di o-piccolo, per favore

[DeltaEpsilon]

L'o-piccolo di una funzione $f(x)$ per $x\rightarrow x_0$ identifica tutte quelle funzioni \(\displaystyle g(x) \) tali che

$\lim_{x\rightarrow x_0} \frac{g(x)}{f(x)} = 0$

e si scrive \(\displaystyle g(x) = o(f(x)) \)

...

in questo caso nella dimostrazione compare $\lim_{(h,k)\rightarrow (0,0)} o(\sqrt{h^2+k^2}) = 0$

ma $\sqrt{h^2+k^2}$ al denominatore non c'è