Ho il seguente esercizio che mi chiede di dire per quali p le seguenti funzioni sono in $L^p$ con $p \in (1,\infty)$
$g(x)= \frac{1}{\sqrt{x}(4+sin(x))}$ in $[2, \infty)$
E $f(x,y)=\frac{x^2}{y}$ su $B_1(9,11)$
Per quanto riguarda il primo ho provato a risolverlo ma ho un dubbio, infatti io ho fatto la maggiorazione
$|\frac{1}{\sqrt{x}(4+sin(x))}|^p≤\frac{1}{|\sqrt{x}|^p}$ che mi dice che ho convergenza per $\frac{1}{2p}>1$ quindi per $p<\frac{1}{2}$ che dal momento che dovevo avere $p \in (1,\infty)$, non mi è molto d'aiuto. Ma allora come posso fare per trarne qualcosa di utile?
Per il secondo non ho idea di come fare perché dopo aver spezzato l'integrale grazie al teorema di Tonelli scrivo il mio dominio in modo più "carino" cosi da avere x tra 8 e 10 e y che dipende da x. Devo quindi svolgere l'integrale rispetto a y e poi valutare se quello che ne viene fuori è integrabile rispetto ad x però ho un qualcosa di abominevole. Un modo più intelligente per risolverlo?