Serie con logaritmo

[pilloeffe]

1)

purché sia $t <= 1 \implies n >= 5 $

Qui intendevi $t > 1$? Altrimenti non ho capito perché

No, no, intendevo proprio $t <= 1$: lo sviluppo in serie di $ln(1 + t) $ converge per $- 1< t <= 1 $, ma siccome nel nostro caso $t := 4/(n - 1) > 0 $ è sufficiente accertarsi che sia $t <= 1 $ e ciò accade per $n >= 5 $

[_ester_]

Molto chiaro il procedimento

Un'altra idea è considerare la funzione continua $f(k)$, quindi la nostra serie è composta da sottoinsieme di punti dell'immagine della funzione, ovvero i k naturali positivi.
Ergo se la relazione vale per tutti i reali, allora varrà anche per i naturali.

Questa è una risposta alla mia domanda sullo sviluppo di Taylor?

@pilloeffe: perfetto, ora ho capito

[Bokonon]

Questa è una risposta alla mia domanda sullo sviluppo di Taylor?

Era riferita all'interpretazione diretta di @Pilloeffe
Pensala come un funzione continua.
https://www.desmos.com/calculator/x9it5tbwez
Se schiacci "play" vedi i valori delle due serie a confronto al variare di k.

Quando studierai la convergenza integrale, userai le funzioni e $int_1^(oo) 1/xdx=oo$ e questa è una sommatoria, no?
Immagina le serie che stai studiando come una sorta di integrale "discreto" o più correttamente come un integrale di Lesbegue https://it.wikipedia.org/wiki/Integrale ... i_semplici

[Mathita]

Intervengo solo per segnalare le seguenti strategie risolutive che non richiedono l'uso delle [comodissime] equivalenze asintotiche.

1. Puoi scrivere il logaritmo del quoziente come differenza di logaritmi e ricondurti a una serie telescopica di passo 4 e divergente.

2. Puoi dimostrare¹ che $\ln((n+3)/(n-1))>4/(n+3)$ [editato] per ogni $n\in\mathbb{N}\setminus\{0,1\}$ e sfruttare in seguito il criterio del confronto.

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Note

1. Usando il teorema di Lagrange con la funzione $f(x)=\ln(x)$ e intervallo \([n-1,n+3]\) al variare di $n>1$ naturale. ↑

[Bokonon]

@Mathita
Bella alternativa

[pilloeffe]

Si potrebbe anche utilizzare la prima strategia risolutiva suggerita da Mathita combinata con la posizione $k := n - 1 $ suggerita da Bokonon:

$ \sum_{n = 2}^{+\infty} log((n+3)/(n-1)) = \sum_{k = 1}^{+\infty} log((k+4)/k) = \sum_{k = 1}^{+\infty} [log(k + 4) - log(k)] = \lim_{M \to +\infty} \sum_{k = 1}^M [log(k + 4) - log(k)] = $
$ = \lim_{M \to +\infty} [log((5)_M) - log((1)_M)] = \lim_{M \to +\infty} log[(5)_M/(1)_M] = \lim_{M \to +\infty} log[(5)_M/(1)_M] = $
$ = \lim_{M \to +\infty} log[(5\cdot 6 \cdot ... \cdot (M + 4))/(1\cdot 2 \cdot ... \cdot M)] = \lim_{M \to +\infty} log[1/24 \cdot ((M + 4)!)/(M!)] = $
$ = \lim_{M \to +\infty} log[1/24 \cdot ((M + 4)(M + 3)(M + 2)(M + 1)M!)/(M!)] = $
$ = \lim_{M \to +\infty} log[1/24 \cdot (M + 1)(M + 2)(M + 3)(M + 4)] = +\infty $

ove $(x)_n $ è il simbolo di Pochhammer: $(x)_n = (\Gamma(x+n))/(\Gamma(x)) = x(x+1)\cdot ... \cdot (x+n-1) $

[Bokonon]

Bella Pillo!
Adesso però mi state spaventando @_ester_

[_ester_]

Bene, grazie a tutti per la disponibilità, anche se effettivamente alcuni dei suggerimenti per ora non penso di poterli comprendere del tutto...