Parallelismo di due gradienti

[leonardo_mutti]

Sia $\Omega \subseteq \mathbb{R}^n$ aperto, $f,g \in C^1(\Omega)$ e $x_0 \in \Omega$. Sia $L_{x_0}=\{ y \in \Omega: f(y)=f(x_0) \} $.

Sia $g=0$ in $L_{x_0}$ (*). Devo mostrare che c'è un numero $c \in \mathbb{R}$ tale che $\forall i $ $D_i g (x_0)=c D_i f(x_0)$.

Ecco il mio tentativo: $L_{x_0}$ è un insieme di livello di $f$, pertanto $\forall y \in L_{x_0}$ $\nabla f(y)\bot L_{x_0}$. Per (*) $L_{x_0}$ è un insieme di livello di $g$, quindi $\forall y \in L_{x_0}$ $\nabla g(y)\bot L_{x_0}$, quindi $\forall y \in L_{x_0}$ $\nabla f(y)= c(y) \nabla g(y)$, pertanto mettendo $y=x_0$ concludo.
C'è qualcosa di sbagliato nella dimostrazione?

[dissonance]

Devi giusto discutere cosa succede quando \(\nabla f(y)=0\). In tal caso, \(L_{x_0}\) potrebbe non essere regolare e quindi non ha senso dire che \(\nabla f \bot L_{x_0}\) (si scrive \bot, non \perp, non mi chiedere perché). Però in tal caso la tesi è banalmente verificata con \(c=0\).

[leonardo_mutti]

Devi giusto discutere cosa succede quando \(\nabla f(y)=0\). In tal caso, \(L_{x_0}\) potrebbe non essere regolare e quindi non ha senso dire che \(\nabla f \bot L_{x_0}\) (si scrive \bot, non \perp, non mi chiedere perché). Però in tal caso la tesi è banalmente verificata con \(c=0\).

Giusto, dimenticavo il dettaglio della regolarità degli insiemi di livello. Per altro il gradiente di $f$ è non nullo per ipotesi, che mi sono dimenticato di aggiungere.

Allora sarebbe da controllare anche $\nabla g \ne 0$? Qui non ho in ipotesi che il gradiente è nullo.

[dissonance]

Ma non fa niente. Basta prendere \(c=0\).

[leonardo_mutti]

È il gradiente di $f$ ad essere non nullo per ipotesi, non quello di $g$. Se fosse $\nabla g=0$ non potrei più concludere la tesi (vista l'ipotesi che mi sono dimenticato di aggiungere)

[dissonance]

Ma si, in quel caso l'equazione \(\nabla g = c\nabla f\) si riduce a \(0=0\), prendendo \(c=0\). E' per quello che hanno messo la \(c\) affianco a \(\nabla f\), che non si può annullare.

[leonardo_mutti]

Ma si, in quel caso l'equazione \(\nabla g = c\nabla f\) si riduce a \(0=0\), prendendo \(c=0\). E' per quello che hanno messo la \(c\) affianco a \(\nabla f\), che non si può annullare.

Scusa, mia svista. Grazie dell'aiuto.

[dissonance]

Prego, prego, nessuna svista, non ti preoccupare.