Esercizio applicazioni lineari

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Salve, mi servirebbe una mano per questo esercizio sulle applicazioni lineari.

Si consideri l'applicazione lineare $phi_B:Mat_(2x2)(R)->Mat_(2x2)(R)$ definita da $phi_B(A)=BA$
Sia $B=((1, 1),(-1, -1))$. Determinare dimensione e base dei sottospazi $Ker(phi_B),Im(phi_B)$

Ho riportato solo questo punto dell'esercizio perchè è quello che mi dà problemi: non so trattare bene le applicazioni lineari quando si lavora in uno spazio di matrici.
Grazie in anticipo

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È facile, basta "srotolare" le matrici
Più seriamente, lavorerai sulla matrice associata all'applicazione e devi ricordare che mentre le applicazioni lineari operano su vettori (che in questo caso sono matrici), le matrici associate operano sulle coordinate dei vettori.
Ovviamente per avere coordinate devi fissare una base e nulla vieta che sia:
$((1,0),(0,0)),((0,1),(0,0)),((0,0),(1,0)),((0,0),(0,1))$
Rispetto ad essa, le coordinate di una matrice $((a,b),(c,d))$ non sono altro che $(a,b,c,d)$.
La tua applicazione trasforma un vettore del tipo $(a,b,c,d)$, o se preferisci $(x_1,x_2,x_3,x_4)$, in un vettore del tipo $(x_1+x_3,x_2+x_4,-x_1-x_3,-x_2-x_4)$.
Una volta "srotolate" in questo modo le matrici, puoi procedere come se si trattasse di una banale applicazione su $RR^4$.

Attenzione però! Quando avrai ottenuto quello che volevi, dovrai ricordati che avrai ottenuto risultati in termini di coordinate che dovrai riconvertire in matrici.

Grazie per la risposta
Potresti proprio risolvere l'esercizio? In modo tale da vedere il procedimento per intero

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Potresti proprio risolvere l'esercizio? In modo tale da vedere il procedimento per intero

Prova e vedrai che non è difficile.
Se poi su qualche punto specifico hai qualche dubbio, qualcuno te lo chiarirà.

L' ho già provato a fare: ho trovato $Ker phi_B ={((1,0),(-1,0)) , ((0,1),(0,-1))} e Im phi_B={((1,0),(-1,0)) , ((0,1),(0,-1))}. $ Mi lascia perplesso il fatto che abbiano la stessa base. Inoltre la base per l'immagine l' ho vista ad occhio e non saprei determinarla analiticamente. Puoi confermarmi la correttezza e spiegarmi come trovare analiticamente una mase per $ Im phi_B$? Grazie ancora

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L' ho già provato a fare: ho trovato $Ker phi_B ={((1,0),(-1,0)) , ((0,1),(0,-1))} e Im phi_B={((1,0),(-1,0)) , ((0,1),(0,-1))}. $ Mi lascia perplesso il fatto che abbiano la stessa base. Inoltre la base per l'immagine l' ho vista ad occhio e non saprei determinarla analiticamente. Puoi confermarmi la correttezza e spiegarmi come trovare analiticamente una mase per $ Im phi_B$? Grazie ancora

Visto che lo sapevi fare?
Sì, sembra strano che le due basi siano uguali, ma nucleo e immagine sono cose diverse.
Detta $M$ la matrice associata, il nucleo è l'insieme dei vettori $x$ tali che $Mx=0$, l'immagine è l'insieme dei vettori $y$ tali che $Mx=y$.
Il nucleo è un sottoinsieme del dominio: tutte le matrici $((a,b),(c,d))$ che hanno $a=-c$ e $b=-d$.
L'immagine è un sottoinsieme del codominio: quale che sia la matrice $A$, la matrice $BA$ che ottieni è una combinazione lineare di matrici $((a,0),(-a,0))$ e $((0,b),(0,-b))$.
Ad esempio: $BA=((1,1),(-1,-1))((1,33),(57,2))=((58,35),(-58,-35))$.
Questo perché nel prodotto righe per colonne prima sommi gli elementi di ciascuna colonna, poi i loro opposti.

Se poi ti diverti a dare in pasto all'applicazione una matrice dell'immagine (per così dire, se la sposti dal codominio al dominio), ottieni una matrice nulla. È questo l'effetto della uguaglianza delle basi di nucleo e immagine.

Quanto a come trovare (nucleo) e immagine, prova a dare un'occhiata qui. Poi magari ci risentiamo

Tutto chiaro grazie