Calcolo di probabilità

[caprix]

Salve a tutti, ho un dubbio su questo esercizio:
Una scatola contiene 10 palline: di esse 4 sono rosse e piccole, 3 sono rosse e grandi e 3 sono nere e piccole. Si estrae a caso una pallina dalla scatola. Calcolare la probabilità p che nel caso in cui la pallina sia piccola essa sia anche rossa.
Intuitivamente la risposta per me è $4/10$, ma so già che il ragionamento è errato, sarei grato se qualcuno mi spiegasse il ragionamento corretto da fare.

[tommik]

intuizione quantomai errata...
scusa eh...ma se già ti dicono che la pallina è piccola....ovvero 7 casi possibili....come fai a metterci $10$ al denominatore?

[caprix]

Effettivamente ho sbagliato a interpretare il testo, ragionavo pensando a tutte le palline come possibili risultati e che quelli favorevoli fossero le 4 rosse e piccole.

[caprix]

Quindi dovrei usare la probabilità condizionata?

[tommik]

Secondo me sì, ottenendo $4/7$

Calcolare la probabilità p che nel caso in cui la pallina sia piccola essa sia anche rossa.

Questi esercizi non sono di statistica ma di semantica italiana....non è nemmeno facile dire chi ha ragione: io interpreto così

"dato che la pallina è piccola, calcolare la probabilità che sia rossa"

ma non è escluso si possa interpretare così:

"calcolare la probabilità che la pallina sia piccola e rossa"

nel qual caso avresti ragione tu.

morale della favola: quando un docente non riesce a scrivere esercizi dove la parte del leone è il ragionamento, si trincea dietro esercizietti insulsi (opinione strettamente personale, tra l'altro non faccio il docente...quindi non linciatemi)

[Bokonon]

Anch'io l'ho interpretato come Tommik ma penso che vada utilizzato Bayes.
Tutto ciò che sappiamo è che la pallina estratta è piccola, quindi potrebbe essere rossa o nera.

$P(R_p|P)=(P(P|R_p)*P(R_p))/(P(P|R_p)*P(R_p)+P(P|N_p)*P(N_p))=16/25$

[tommik]

Giuro che non ho capito

L'urna iniziale contiene 10 palline: 4 rossepiccole, 3 nerepiccole e 3 RosseGrandi

Anche io ho utilizzato Bayes (sempre sia lodato) ma ho fatto così: sapendo a priori che la pallina estratta è piccola, l'urna risulta formata da 7 palline: 4 rosse e 3 nere; quindi la probabilità che sia rossa è $4/7$

Dalla tua formula nulla cambia....$mathbb{P}["Piccola"|R_("piccola")]=mathbb{P}["Piccola"|N_("piccola")]=1$ e quindi ti ritrovi con

$(1xx4/10)/(1xx4/10+1xx3/10)=4/7$

sbaglio??

[Bokonon]

Dissento, l'urna non diventa improvvisamente composta da 7 palline, altrimenti l'urna del problema e quella composta solo da palline piccole 4R+3N sarebbero problemi virtualmente identici.
Il fatto che sia stata estratta una pallina piccola non fa diventare la probabilità del suo evento 1 da 7/10.
La probabilità va ponderata nel suo insieme.

$P(R_p|P)=(P(P|R_p)*P(R_p))/(P(P|R_p)*P(R_p)+P(P|N_p)*P(N_p))=(4/7*4/10)/(4/7*4/10+3/7*3/10)=16/25$

[tommik]

non capisco come fai a calcolare, ad esempio, $mathbb{P}[P|R_p]=4/7$

inteso come: probabilità che la pallina sia piccola Dato che è RossaPiccola....non risulta 1?

Poi scusa, questa è tutta l'urna iniziale

	Palle Piccole	Palle Grandi	Totale
Palle Rosse	4	3	7
Palle Nere	3	0	3
Totale	7	3	10

$P["Rossa"|"Piccola"]=(P["Rossa"nn"Piccola"])/(P["Piccola"])=4/7$

[Bokonon]

...e hai ragione. Sarà meglio che mi faccia un caffè