Sottospazi invarianti

Messaggioda Cantor99 » 28/01/2020, 23:23

Salve sto svolgendo il seguente esercizio

Sia $M\in \mathbb{R}^{3,3}$ una matrice a entrate reali per cui
\[
M\begin{pmatrix}
1 \\ 0 \\ 1
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 \\ 0 \\ 1
\end{pmatrix} \qquad
M\begin{pmatrix}
-1 \\ 2 \\ 1
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2\\ 4 \\ 2
\end{pmatrix} \qquad M\begin{pmatrix}
1 \\ 1 \\ -1
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3 \\ 3 \\ -3
\end{pmatrix}
\]
Trovare la minima dimensione che può avere un sottospazio $V\subseteq \mathbb{R}^{3}$ affinché $$\begin{pmatrix}1 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix}\in V \qquad L_{M}(V)\subseteq V$$.

Posto
\[
e_{1}=\begin{pmatrix}
1 \\ 0 \\ 1
\end{pmatrix} \qquad e_{2}=\begin{pmatrix}
-1 \\ 2 \\ 1
\end{pmatrix} \qquad e_{3}\begin{pmatrix}1 \\ 1 \\ -1
\end{pmatrix} \qquad v=\begin{pmatrix}1 \\ 3 \\ 1\end{pmatrix}
\]
osservo che ho che l'endomorfismo $L_{M}$ associato a $M$ ha 3 autovalori distinti e che i rispettivi autovettori sono ortogonali.
Poiché $v=e_{1}+e_{2}+e_{3}$ non è un autovettore, $V$ non può avere dimensione 1: essendo $\mathbb{R}^{3}$ stesso $L_{M}$-invariante e contenente $v$, si tratta di stabilire se esistono sottospazi $V$ 2-dimensionali che siano $L_{M}$-invarianti e tali che $v\in V$.

Stando anche a quanto si dice qui https://math.stackexchange.com/question ... e-question i sottospazi di dimensione 2 $L_{M}$-invarianti sono $\langle e_{i},e_{j}\rangle$, con $i,j=1,2,3$ e $i\ne j$. Quindi $V$ non può avere dimensione 2.

Esistono strade per risolvere l'esercizio meno dirette, cioè percorribili da chi non conosce le proprietà dei sottospazi invarianti?
Ultima modifica di Cantor99 il 29/01/2020, 01:17, modificato 1 volta in totale.
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Re: Sottospazi invarianti

Messaggioda Cantor99 » 29/01/2020, 01:16

Grazie per la risposta.

Riconosco che la mia domanda è stata formulata male: cerco, se esiste e se è percorribile, una strada "meno diretta" che possa essere intrapresa da chi non conosce le proprietà dei sottospazi invarianti.

Il tuo (come il mio) ragionamento si basa sul fatto che i sottospazi $L_{M}$-invarianti siano tutti e soli questi
\[
\{0\} \quad \langle e_{1}\rangle \quad \langle e_{2}\rangle \quad \langle e_{3}\rangle \quad \langle e_{1},e_{2}\rangle \quad \langle e_{1},e_{3}\rangle \quad \langle e_{3},e_{3}\rangle \quad \mathbb{R}^{3}
\]
Senza sapere ciò, come si potrebbe dimostrare che $\mathbb{R}^{3}$ è l'unico sottospazio $L_{M}$-invariante cui appartiene $v$?
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