Sia $M\in \mathbb{R}^{3,3}$ una matrice a entrate reali per cui
\[
M\begin{pmatrix}
1 \\ 0 \\ 1
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 \\ 0 \\ 1
\end{pmatrix} \qquad
M\begin{pmatrix}
-1 \\ 2 \\ 1
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2\\ 4 \\ 2
\end{pmatrix} \qquad M\begin{pmatrix}
1 \\ 1 \\ -1
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3 \\ 3 \\ -3
\end{pmatrix}
\]
Trovare la minima dimensione che può avere un sottospazio $V\subseteq \mathbb{R}^{3}$ affinché $$\begin{pmatrix}1 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix}\in V \qquad L_{M}(V)\subseteq V$$.
Posto
\[
e_{1}=\begin{pmatrix}
1 \\ 0 \\ 1
\end{pmatrix} \qquad e_{2}=\begin{pmatrix}
-1 \\ 2 \\ 1
\end{pmatrix} \qquad e_{3}\begin{pmatrix}1 \\ 1 \\ -1
\end{pmatrix} \qquad v=\begin{pmatrix}1 \\ 3 \\ 1\end{pmatrix}
\]
osservo che ho che l'endomorfismo $L_{M}$ associato a $M$ ha 3 autovalori distinti e che i rispettivi autovettori sono ortogonali.
Poiché $v=e_{1}+e_{2}+e_{3}$ non è un autovettore, $V$ non può avere dimensione 1: essendo $\mathbb{R}^{3}$ stesso $L_{M}$-invariante e contenente $v$, si tratta di stabilire se esistono sottospazi $V$ 2-dimensionali che siano $L_{M}$-invarianti e tali che $v\in V$.
Stando anche a quanto si dice qui https://math.stackexchange.com/question ... e-question i sottospazi di dimensione 2 $L_{M}$-invarianti sono $\langle e_{i},e_{j}\rangle$, con $i,j=1,2,3$ e $i\ne j$. Quindi $V$ non può avere dimensione 2.
Esistono strade per risolvere l'esercizio meno dirette, cioè percorribili da chi non conosce le proprietà dei sottospazi invarianti?