Sottospazi invarianti

Messaggioda Cantor99 » 28/01/2020, 23:23

Salve sto svolgendo il seguente esercizio

Sia $M\in \mathbb{R}^{3,3}$ una matrice a entrate reali per cui
\[
M\begin{pmatrix}
1 \\ 0 \\ 1
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 \\ 0 \\ 1
\end{pmatrix} \qquad
M\begin{pmatrix}
-1 \\ 2 \\ 1
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2\\ 4 \\ 2
\end{pmatrix} \qquad M\begin{pmatrix}
1 \\ 1 \\ -1
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3 \\ 3 \\ -3
\end{pmatrix}
\]
Trovare la minima dimensione che può avere un sottospazio $V\subseteq \mathbb{R}^{3}$ affinché $$\begin{pmatrix}1 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix}\in V \qquad L_{M}(V)\subseteq V$$.

Posto
\[
e_{1}=\begin{pmatrix}
1 \\ 0 \\ 1
\end{pmatrix} \qquad e_{2}=\begin{pmatrix}
-1 \\ 2 \\ 1
\end{pmatrix} \qquad e_{3}\begin{pmatrix}1 \\ 1 \\ -1
\end{pmatrix} \qquad v=\begin{pmatrix}1 \\ 3 \\ 1\end{pmatrix}
\]
osservo che ho che l'endomorfismo $L_{M}$ associato a $M$ ha 3 autovalori distinti e che i rispettivi autovettori sono ortogonali.
Poiché $v=e_{1}+e_{2}+e_{3}$ non è un autovettore, $V$ non può avere dimensione 1: essendo $\mathbb{R}^{3}$ stesso $L_{M}$-invariante e contenente $v$, si tratta di stabilire se esistono sottospazi $V$ 2-dimensionali che siano $L_{M}$-invarianti e tali che $v\in V$.

Stando anche a quanto si dice qui https://math.stackexchange.com/question ... e-question i sottospazi di dimensione 2 $L_{M}$-invarianti sono $\langle e_{i},e_{j}\rangle$, con $i,j=1,2,3$ e $i\ne j$. Quindi $V$ non può avere dimensione 2.

Esistono strade per risolvere l'esercizio meno dirette, cioè percorribili da chi non conosce le proprietà dei sottospazi invarianti?
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Re: Sottospazi invarianti

Messaggioda Sergio » 29/01/2020, 00:37

Probabilmente mi sfugge qualcosa.
Dai termini del problema si vede che $M$ ha i tre autovalori distinti $1,2,3$ e che $e_1,e_2,e_3$ sono rispettivi autovettori ortogonali. Ne segue che $L_M$ può essere espresso come somma di operatori \(L \rvert_{W_i}\) e che \(\mathbb{R}^3=\oplus_{i=1}^3 W_i\), dove i $W_i$ sono sottospazi invarianti.
Mi sembra quindi corretto affermare che ogni sottospazio invariante di dimensione 2 non può essere altro che la somma diretta di due $W_i$, con base costituita dai corrispondenti $e_i$.
In ogni caso, poiché $v=e_1+e_2+e_3$ (ed essendoci un'unica combinazione lineare degli $e_i$ che possa dare $v$), la dimensione minima di un $V$ cui appartenga $v$ è 3. Servono tutti e tre gli \(L \rvert_{W_i}\) per avere $L_M(V)$.
Cosa mi sfugge?
"Se vuoi un anno di prosperità coltiva del riso. Se vuoi dieci anni di prosperità pianta degli alberi. Se vuoi cento anni di prosperità istruisci degli uomini" (proverbio cinese). E invece... viewtopic.php?p=236293#p236293
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Re: Sottospazi invarianti

Messaggioda Cantor99 » 29/01/2020, 01:16

Grazie per la risposta.

Riconosco che la mia domanda è stata formulata male: cerco, se esiste e se è percorribile, una strada "meno diretta" che possa essere intrapresa da chi non conosce le proprietà dei sottospazi invarianti.

Il tuo (come il mio) ragionamento si basa sul fatto che i sottospazi $L_{M}$-invarianti siano tutti e soli questi
\[
\{0\} \quad \langle e_{1}\rangle \quad \langle e_{2}\rangle \quad \langle e_{3}\rangle \quad \langle e_{1},e_{2}\rangle \quad \langle e_{1},e_{3}\rangle \quad \langle e_{3},e_{3}\rangle \quad \mathbb{R}^{3}
\]
Senza sapere ciò, come si potrebbe dimostrare che $\mathbb{R}^{3}$ è l'unico sottospazio $L_{M}$-invariante cui appartiene $v$?
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