Correggere la frase

[anonymous_b7df6f]

Ciao a tutti,

Dubbio teorico:
Si prenda un polo $O$ fisso ed un corpo rigido che si sta muovendo. La velocità angolare $omega$ ha direzione costante.

Mi viene chiesto di dire se questa frase è vera o falsa, e, nel caso fosse falsa, di correggerla:

"La seguente equazione:

$(dK_O)/(dt) = I_O dot(omega) = M_O^(ext) $

è vera solo nel caso in cui sia il momento angolare che il momento risultante delle forze esterne siano paralleli alla velocità angolare".

Io ho scritto che è vera. Voi cosa ne pensate?

Nota: post modificato. Mi ero dimenticata di scrivere che la velocità angolare ha direzione costante

[Shackle]

Strana domanda. Direi di no in generale. Prendiamo un giroscopio massiccio, con sospensione cardanica. Ha un solo punto fisso, il baricentro. Mettiamolo in rapida rotazione, con l’asse puntato verso una stella fissa , ad es la Polare. L ‘ asse di rotazione è centrale di inerzia, cioè un asse libero di rotazione. Quindi $vecL$ e $vecomega$ sono paralleli, e il momento di forza esterna , il peso, è nullo rispetto a G . Se spingi l’asse con un dito, per la “tenacia dell’asse giroscopico “ esso fa molta resistenza; e se riesci a vincerla, l’asse tende a ruotare in modo da portare $vecL$ a sovrapporsi, cioè ad inseguire, il vettore momento della forza del tuo dito.

[anonymous_b7df6f]

Se spingi l’asse con un dito...

Ciao Shackle, prima di tutto ti ringrazio per la risposta.
E' una domanda che è stata fatta ad un esame orale di Fisica 1.

Però c'è un problema, da buona imbranata mi sono dimenticata di scrivere una cosa importante che adesso vado ad inserire nel testo.
La cosa in più che c'è da considerare è:
"La velocità angolare ha direzione costante".

[Shackle]

Se il polo è fisso, la relazione tra momento di forze esterne e momento angolare, e cioè :

$vecM_O^(ext) = (dvecK_O)/(dt) $

è niente altro che la seconda equazione cardinale della dinamica, e su questo non ci piove. Non devi dimenticare mai che sono vettori!

Riguardo all’uguaglianza tra la derivata del momento angolare e la quantità $[I_O]dot\vec\omega$ , cioè :

$(dvecK_O)/(dt) = [I_O] dotvec(omega)$

ci sono diverse cose da dire, e buona parte te le ho già dette, per cui vai a riguardare i precedenti, non voglio ripetere; soprattutto riguardo al significato della matrice di inerzia $[I_O]$, che non è un semplice momento di inerzia; e riguardo alla derivata della velocità angolare $vecomega$ , fatta secondo questa regola :

$[ (d...)/(dt)]_F = [ (d...)/(dt)]_M + vecomega times....$

se applichi questa derivata alla stessa velocità angolare $vecomega$ , ti rendi conto che l’ultimo temine è nullo, per cui la derivata nel sistema di riferimento fisso è uguale a quella nel sistema mobile.

Tornando alla tua domanda , mi vengono in mente varie cose :

1) il momento angolare $vecK_O = [I_O] vec(omega)$ è il prodotto (matriciale , o tensoriale) di due quantità, di cui la prima $[I_O]$ è la matrice di inerzia scritta con i momenti e i prodotti di inerzia nel riferimento solidale al corpo (di solito il riferimento centrale di inerzia, ma non è sempre detto), cioè in poche parole i termini della matrice sono costanti, visto che il corpo è rigido per ipotesi;

2) come hai aggiunto, $vecomega$ ha direzione costante nello spazio fisso, il che vuol dire che può variare solo il modulo di $vecomega$, non la direzione;

3) ma vuol dire anche un’altra cosa : c’è un punto fisso $O$ , e perciò posso immaginare che la retta passante per $O$ e avente la direzione costante di $vecomega$ sia asse di rotazione del corpo rigido stesso : è l’unico modo che vedo per far andare a braccetto le tre ipotesi : a) il corpo è rigido ; b)il punto $O$ è fisso ; c) il vettore $vecomega$ ha direzione costante.

allora, per far variare il modulo della velocità angolare, devo applicare un momento di forze esterne al corpo ; ma l’accelerazione angolare dipende ora solo dalla componente del momento di forze rispetto all’asse, e dal momento di inerzia del corpo rispetto allo stesso asse. Ricordati dell’esempio del manubrio , saldato NON ad angolo retto con un asse fisico di rotazione supportato da cuscinetti. Io posso accelerarlo angolarmente, anche con una forza che non sia giacente in piano normale all’asse. Ma il vettore momento angolare non è affatto parallelo all’asse di rotazione , te l’ho già detto. Quindi, risposta negativa, per vari motivi.

Sai una cosa ? Mi viene un forte dubbio sulla domanda, che sia proprio quella e proprio espressa in quei termini.

Comunque aspetto altri autorevoli pareri.

[anonymous_b7df6f]

a) il corpo è rigido ; b)il punto $O$ è fisso ; c) il vettore $vecomega$ ha direzione costante.

Quindi a meno che $O$ non sia fisso le suddette equazioni non valgono?
Se valgono a) e c), ma non b), la frase è falsa?

..e se $O$ si muovesse con velocità parallela al centro di massa?

..
Sai una cosa ? Mi viene un forte dubbio sulla domanda, che sia proprio quella e proprio espressa in quei termini.

Comunque aspetto altri autorevoli pareri.

È possibile. Le ho lette da un foglio di alcuni ragazzi (in gamba) che sono andati a vedere gli orali e che si sono appuntati qualche domanda spinosa.
Non credo abbiani capito male, però è anche possibile che abbiano capito fischi per fiaschi perché la mattina avevano fatto uno scritto di 3 ore ed erano abbastanza provati.

[Shackle]

...e se O si muovesse con velocità parallela al centro di massa?

Hai già dimenticato quello che abbiamo detto neanche un mese fa, a proposito della seconda equazione cardinale della dinamica? In particolare questo :

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

se il polo è fisso, o coincide col CM, oppure è in moto con velocità parallela al CM, la 2º cardinale si scrive :

$vecM_O = (dvecL_O)/(dt) $

cioe manca il termine aggiuntivo.

[anonymous_b7df6f]

Hai già dimenticato quello che abbiamo detto neanche un mese fa, a proposito della seconda equazione cardinale della dinamica? In
cioe manca il termine aggiuntivo.

Quindi

$(dK_O)/(dt) = I_O dot(omega) = M_O^(ext) $

È vera se:

1) il corpo è rigido
2)$vecomega$ ha direzione costante
3) $O$ è fisso (oppure si muove con velocità parallela al centro di massa oppure è lui stesso il centro di massa)
4) il momento angolare $vecK_O$ ed il momento risultante delle forze esterne $M_O^(ext)$ sono paralleli a $vecomega$ (o sono già stati proiettati lungo la sua direzione)

È giusto?

[Shackle]

No, non è giusto. Prendiamo un corpo rigido. LA 2º eq cardinale della dinamica vale senza il termine aggiuntivo più volte detto quando il polo è il CM , oppure è fisso , oppure ha velocità parallela a quella del CM. Esclusi questi casi, c’è il termine aggiuntivo.

MA l’ipotesi che $vecomega$ abbia direzione costante l’hai aggiunta tu. E può non essere vera in generale. Pensa ad una trottola (corpo a struttura giroscopica) pesante : il punto di appoggio sul piano orizzontale è un polo fisso, almeno idealmente; la trottola ha una sua velocità angolare di “spin” la cui direzione non è per nulla costante. Il momento della forza peso, che non è parallelo al momento angolare e alla velocità angolare (il vettore $vecM_e$ è orizzontale), fa eseguire all’asse di spin un moto di precessione. La velocità angolare assoluta totale è somma vettoriale di quella di spin e di quella di precessione. Ci vogliono le equazioni di Eulero per risolvere il problema.

Sono argomenti non facili, che abbiamo gia visto di recente con vari utenti in casi particolari semplici, cercali. Ma principalmente mi permetto di dirti che devi approfondire lo studio su un buon libro di meccanica razionale, e fare esercizi. Niente può sostituire questo, neanche un forum. Scusa se questa sembra una paternale.

PS faccio un esempio ancora più semplice. Considera il Sole come polo fisso, e la Terra in moto. La forza di attrazione gravitazionale ha momento nullo rispetto al sole; il momento angolare è un vettore costante perpendicolare al piano dell’orbita, da cui la prima e seconda legge di Kepler. Il vettore velocità angolare di rotazione propria della terra ha direzione fissa nello spazio assoluto ( ma non è del tutto vero, sorvoliamo...), che non è parallela al momento angolare. Qui però si conserva $vecL$ perché la forza ha momento nullo. L’esempio serve solo a far vedere che $vecL$ e $vecomega$ possono non essere paralleli .

[anonymous_b7df6f]

No, non è giusto. Prendiamo un corpo rigido. LA 2º eq cardinale della dinamica vale senza il termine aggiuntivo più volte detto quando il polo è il CM , oppure è fisso , oppure ha velocità parallela a quella del CM. Esclusi questi casi, c’è il termine aggiuntivo.

MA l’ipotesi che $vecomega$ abbia direzione costante l’hai aggiunta tu. E può non essere vera in generale. Pensa ad una trottola (corpo a struttura giroscopica) pesante : il punto di appoggio sul piano orizzontale è un polo fisso, almeno idealmente; la trottola ha una sua velocità angolare di “spin” la cui direzione non è per nulla costante. Il momento della forza peso, che non è parallelo al momento angolare e alla velocità angolare (il vettore $vecM_e$ è orizzontale), fa eseguire all’asse di spin un moto di precessione. La velocità angolare assoluta totale è somma vettoriale di quella di spin e di quella di precessione. Ci vogliono le equazioni di Eulero per risolvere il problema.

Sono argomenti non facili, che abbiamo gia visto di recente con vari utenti in casi particolari semplici, cercali. Ma principalmente mi permetto di dirti che devi approfondire lo studio su un buon libro di meccanica razionale, e fare esercizi. Niente può sostituire questo, neanche un forum. Scusa se questa sembra una paternale.

PS faccio un esempio ancora più semplice. Considera il Sole come polo fisso, e la Terra in moto. La forza di attrazione gravitazionale ha momento nullo rispetto al sole; il momento angolare è un vettore costante perpendicolare al piano dell’orbita, da cui la prima e seconda legge di Kepler. Il vettore velocità angolare di rotazione propria della terra ha direzione fissa nello spazio assoluto ( ma non è del tutto vero, sorvoliamo...), che non è parallela al momento angolare. Qui però si conserva $vecL$ perché la forza ha momento nullo. L’esempio serve solo a far vedere che $vecL$ e $vecomega$ possono non essere paralleli .

Shackle grazie mille chiarissimo!!!