Distribuzione di $Z=X/(min(X,Y))$

[mobley]

Date $X_|_Y~ Exp(\lambda)$, ho spezzato i casi $X<=Y$ e $X>Y$...

$F_Z(z)=\mathbb(P)(X/(min(X,Y))<=z,X<=Y)+\mathbb(P)(X/(min(X,Y))<=z,X>Y)$

$=\mathbb(P)(1<=z)+\mathbb(P)(Y>=X/z)$

…e ho provato a studiare la ripartizione nei diversi valori di $Z\in[1,+\infty)$:
-se $z<=1rArr F_Z(z)=\mathbb(P)(Z<=1)=\mathbb(P)(Z<1)+\mathbb(P)(Z=1)=0+(\lambda)/(\lambda+\lambda)=1/2$;
-se $1<z<=zrArr\mathbb(P)(1<=z)+\mathbb(P)(Y>=X/z)$.
Ora, se per la seconda probabilità dovrei avere $\int_0^(+\infty)[\int_(x/z)^(+\infty)f(y)dy]dx$...

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(credo…)

…non riesco a capire come studiare la prima. Dove sto sbagliando?

[tommik]

bah....banale

$F_Z(z)={{: ( 0 , ;z<1 ),(1/2 , ;z=1 ),( z/(z+1), ;z>1 ) :}$

quindi la distribuzione non è assolutamente continua perché la sua Funzione di Ripartizione presenta un salto nel punto $z=1$


Spiegazione: quando $X<Y rarr Z=1$ e ciò evidentemente accade con probabilità $1/2$ (non servono conti)

In prosa, la $Z$ concentra massa di probabilità positiva (il 50%) nel punto $z=1$

Quando $Y<X$ la tua variabile è $Z=X/Y$...l'integrale che hai scritto è errato, sia nell'integranda (non vedo $f(x)$) che negli estremi di integrazione.

[mobley]

Ok, ci sono arrivato. L'unica cosa che non avrei mai intuito (senza vedere la tua risposta) è che dovevo sommare $1/2$ al risultato dell'integrale (i cui estremi sono giustamente $x/z$ e $x$). Potrei chiederti gentilmente spiegazioni su questa cosa? Intendo dire… Come faccio a capire quando farlo, quando no… Grazie in anticipo tommik!