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$x=\frac{A+a+B+b}{A+a+B+b+c+r}$ ,$y=\frac{B+b+C+c}{B+b+C+c+a+r}$
, $z=\frac{C+c+A+a}{C+c+A+a+b+r}$
$x<1,y<1,z<1$
$(x-1)(A+a)+(x-1)(B+b)+x(c+r)=0$
$(y-1)(B+b)+(y-1)(C+c)+y(a+r)=0$
$(z-1)(C+c)+(z-1)(A+a)+z(b+r)=0$
Addizionando le prime due equazioni e sottraendo la terza si ottiene
$(x-z)(A+a)+(x+y-2)(B+b)+(y-z)(C+c)+(x+y-z)r+cx+ay-bz=0$
$(x+y-z)r=(z-x)(A+a)+(2-x-y)(B+b)+(z-y)(C+c)+bz-cx-ay$
Essenddo:
$2-x-y>0$,$c<C+c$, $a<A+a$
risulta:
$(x+y-z)r>(z-x)(A+a)+(z-y)(C+c)-(C+c)x-(A+a)y$
$(x+y-z)r>(z-x-y)(A+a)+(z-x-y)(C+c)$
$(x+y-z)(r+A+a+C+c)>0$
da cui
$x+y-z>0$