Esercizi sulle applicazioni.

[Pasquale 90]

Buonasera, vi riporto alcuni esercizi tratti da temi di esame sulle applicazioni.
Considero

$f:x in ZZ to 4x+12 in 2ZZ$ e $g:x in 2ZZ to |x/2|+1 in NN$

$f({0,2,-4})={y in 2ZZ: EE x in X={0,2,-4}:y=f(x)}={12,20,-4}$,

$g({0,2,-2,-4})={y in NN:EE x in S={0,2,-2,-4}:y=g(x)}={1,2,2,3}$,

$f^(-1)({-4,-6,2,4})={x in ZZ:f(x) in Y={-4,-6,2,4}},$
Per cui si ha:
$4x+12=-4 <=>4x=-4-12=-16 <=> x=-4 in ZZ$,
$4x+12=-6 <=> 4x=-12-6=-18 <=> x=-9/2 notin ZZ$,
$4x+12=2 <=> 4x=-12+2=-10 <=> x=-5/2 notin ZZ$,
$4x+12=4<=> 4x=-12+4=-8 <=> x=-2 in ZZ $,
infine $f^(-1)({-4,-6,2,4})={-2-4}$,

$f^(-1)(2ZZ)={x in ZZ:f(x) in 2ZZ}={x in ZZ: y=4x+12 in 2ZZ}=ZZ$,

$f(ZZ)={y in 2ZZ:EEx in ZZ : y=f(x)}={y in 2ZZ:EE x in ZZ : y=4x+12}={y in 2ZZ:EE x in ZZ : y=4(x+3)}=4ZZ$,

$forall y in 2ZZ$ $f^(-1)({y})={x in ZZ : f(x)=y}={x in ZZ : y=4x+12}={x in ZZ : x=(y-12)/4}$
gli elementi $y in 2ZZ$ possono essere del tipo $y=2k$ oppure $y=4k$ con $k in ZZ$ per cui:
se $y=2k$ in tal caso risulta $x=(2k-12)/4=(k-6)/2 notin ZZ to f^(-1)({y}) = emptyset $,
se $y=4k$ in tal caso risulta $x=(4k-12)/4=(k-3) in ZZ to f^(-1)({y}) ={x in ZZ : x=k-3}$,

L'esercizio non è terminato, ma vi chiedo se quanto scritto è corretto.

Grazie

[gugo82]

Se fossi stato un mio studente ti avrei preso a calci…

La Matematica che stai facendo è semplice, quindi non c'è bisogno di incasinarla "ad arte".
Non è che ogni volta che scrivi un insieme ne riporti la definizione particolarizzandola nel caso in esame.
Ad esempio, $f(\{0,2,-4\}) = \{f(0), f(2), f(-4)\} = \{12,20,-4\}$ e così via per tutto il resto.

Inoltre, le formule sono solo una parte del linguaggio Matematico e non servono a fare del tutto a meno del linguaggio naturale, il quale alle volte risulta più efficace e conciso.
Ad esempio, visto che $f(x) = 4x+12=4(x+3)$, il valore di $f(x) in 4ZZ$ per ogni $x in ZZ$; viceversa se $4n in 4ZZ$, si può scrivere $4n=4(n-3)+12=f(n-3)$, cosicché $4n \in f(ZZ)$; da ciò segue $f(ZZ) = 4ZZ$.
Lo stesso per il resto.

[Pasquale 90]

La Matematica che stai facendo è semplice, quindi non c'è bisogno di incasinarla "ad arte".

Hai ragione.... ma l'esercizio sulla determinazione della controimmagine $f^(-1)({y})$ penso che quì bisogna far un minimo di osservazione e lo stesso vale anche $f^(-1)({-4,-6,2,4})=...$ inoltre ti chiedo qust'ultimi sono svolti in maniera corretta

[gugo82]

Sì, per essere corretti sono corretti, ma la fai inutilmente complicata… Ad esempio, è chiaro che $-6,2 notin f(ZZ)$ perché non sono multipli di $4$, quindi $f^(-1)(\{-6\}) = emptyset = f^(-1)(\{2\})$, anche senza risolvere equazioni.

[Pasquale 90]

Grazie