Dimostrazione sugli insiemi

Messaggioda Pippoww » 11/02/2020, 19:09

Salve a tutti sto cercando di dimostrare che $(A \cup B) \cap C \subseteq A\cup (B \cap C)$ vi chiedo gentilmente se va bene.

Sia $ x in (A \cup B) \cap C \Rightarrow x in A \cup B \wedge (x in C)$ (def. di intersezione)
$\Rightarrow (x in A \vee x in B) \wedge (x in C) $
$\Rightarrow(x in A \wedge x in C) \vee (x in B \wedge x in C)$ (def. di proprietà distributiva)
$\Rightarrow x in A\cap C \vee x in B\cap C$
Possiamo quindi distinguere due casi:
$x in A\cap C \Rightarrow A\cup (B \cap C)$
$x in B\cap C \Rightarrow x in A\cup (B \cap C)$
In entrambi i casi abbiamo $x in A\cup (B \cap C)$
Pertanto $(A \cup B) \cap C \subseteq A\cup (B \cap C)$
Pippoww
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Re: Dimostrazione sugli insiemi

Messaggioda Pippoww » 13/02/2020, 09:54

Grazie Sergio!
Ragionando sulla tua osservazione
$A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)$
ma anche
$A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)$ (Proprietá distributiva)
per cui
$ (A ∩ B) sube (A ∪ B) $
$(A ∩ C) sube (A ∪ C) $
Pertanto
$ A nn (B uu C) sube A uu(A nn C) $
Il mio dubbio é:
$A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)$
$A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)$
non c'é bisogno di dimostrare le due uguaglianza? Questo puó essere dato
per scontato?
Grazie
Pippoww
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Re: Dimostrazione sugli insiemi

Messaggioda Pippoww » 14/02/2020, 22:31

Ok! Direi che ci siamo.
Vado avanti con le mie dimostrazioni:
Se $ B sub A$, dimostra che per qualsiasi insieme $C$, $B uuC sub A uu C $ e
$BnnC sub AnnC$
Sia $ x in B uu C rArr AA x( x in B vv x in C)$
$ x in B rarr x in A$ (Premessa $ B sub A$)
$ x !in B rarr x in C$
Pertanto $x in BuuC rArr x in AuuC$ e quindi $B uuC sub A uu C $
L'altra parte si dimostra allo stesso modo:
Sia $ x in B nnC rArr AA x( x in B ^^ x in C)$
$ x in B rarr x in A$ (Premessa $ B sub A$)
$ x !in B rarr x in C$
Pertanto $x in B nnC rArr x in A nn C$ e quindi $B nn C sub A nn C $
Cosa ne pensate! Grazie
Pippoww
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