Risoluzione esercizio sui limiti

[s.tirelli]

Buongiorno a tutti,
Qualcuno potrebbe spiegarmi la risoluzione di questo limite:
$lim_(h->0)(ln(x)^x) $
Grazie mille e buona giornata

[pilloeffe]

Ciao s.tirelli,

Benvenuto sul forum!

Qualcuno potrebbe spiegarmi la risoluzione di questo limite:
$\lim_{h \to 0} (ln(x)^x) $

Innanzitutto immagino che il limite proposto sia per $x \to 0^+ $, poi la parentesi esterna è inutile, per cui in definitiva immagino che il limite da risolvere sia il seguente:

$\lim_{x \to 0^+} ln(x^x) = \lim_{x \to 0^+} x ln x = \lim_{x \to 0^+} (ln x)/(1/x) \stackrel[H]{=} \lim_{x \to 0^+} (1/x)/(- 1/x^2) = 0 $

[s.tirelli]

Ciao pilloefffe,

Grazie per la risposta! Ho fotto confusione quando ho scritto il limite
Il limite è questo:
$lim_(x->0^+) (lnx)^x$

Grazie mille

[pilloeffe]

Ho fatto confusione quando ho scritto il limite
Il limite è questo:
$\lim_{x \to 0^+} (lnx)^x$

Ah beh, in tal caso le cose cambiano e secondo me ci va anche un modulo...
Si ha:

$\lim_{x \to 0^+} |lnx|^x = \lim_{x \to 0^+} e^{ln|lnx|^x} = \lim_{x \to 0^+} e^{x ln|lnx|} = 1 $

Non ti resta che dimostrare che $ \lim_{x \to 0^+} x ln|lnx| = \lim_{x \to 0^+} (ln|lnx|)/(1/x) = 0 $

[anto_zoolander]

Volendo la funzione la si potrebbe anche estendere ai punti nel quale quella quantità è definita per $0<x<1$.
Di fatto $0$ sarebbe di accumulazione per il dominio, basta notare che conterrebbe tutti i punti del tipo

$x=1/(2n+1),n in NN$

@tirelli
Conferma o modifica con certezza la scrittura del limite, pilloeffe ti sta pur sempre dedicando del tempo.

[s.tirelli]

Buongiorno @anto_zoolander,
Scusstemi per il ritardo!
Nell'esercizio il limite non ha il valore assoluto! È scritto come l'ho scritto io la seconda volta. Complessivamente deve fare 1

[anto_zoolander]

Quello che sto per fare potrebbe essere radioattivo

prendo la funzione $f(x)=log(x)^x$

l'obiettivo dei passi successivi è mostrare che il limite esiste, così da poterlo calcolare(volendo) anche con una successione.

la funzione $f$ esiste in $(0,1)$ per tutti i valori di $QQ cap (0,1)$ dove il razionale, ridotto ai minimi termini, deve avere il denominatore dispari. Se non sbaglio non ci sono altri valori, poniamo $D$ quindi l'insieme su cui è definita per $0<x<1$

per tali valori possiamo scrivere

$f(x)=(logx)^x=(-1)^x log(1/x)^x$ di fatto in quell'insieme $(-1)^x$ può essere calcolato sempre.

è chiaro che se $x->0$ in quell'insieme allora $(-1)^x -> 1$

mi posso pertanto concentrare sulla parte $lim_(x->0)log(1/x)=lim_(x->0)e^(xlog(log(1/x))$

lavoro sulla funzione $g(x)=xlog(log(1/x))$ che essendo ben definita in $(0,1)$ la considero come $g:(0,1)->RR$ per studiarne qualche proprietà

$g'(x)=(log(log(1/x))-1)/(log(1/x))$ che per $0<x<e^(-e)$ è strettamente positiva ovvero $g$ è monotona crescente sull'insieme $(0,e^(-e))$ e quindi lo è anche su ogni sottoinsieme. Stando lavorando sui limiti le condizioni che valgono definitivamente ci vanno bene e quindi possiamo porci tranquillamente su $Dcap(0,e^(-e))$

pertanto significa che $lim_(x->0) x log(log(1/x))$ esiste e coincide con l'estremo inferiore in quell'insieme.

esistendo tale limite allora esistono anche $lim_(x->0)e^(xlog(log(1/x))$ e $lim_(x->0)log(x)^x$

pertanto hai due possibilità: calcoli $lim_(x->0) x log(log(1/x))$ oppure prendi una qualsiasi successione del tipo $1/(a_n)$ con $a_n$ sempre dispari(tipo $1/(2n+1)$) e calcoli $lim_(n->+infty)log(1/a_n)^(1/a_n)$

[dissonance]

Posso anche ammirare quanto fatto da anto_zoolander, ma la funzione \(\log(x)^x\) è ben definita solo per \(x>1\), e sicuramente il limite corretto da calcolare è
\[
\lim_{x\to 1^{+}}\log x^x.\]
Infatti, è una discussione ricorrente su questo forum su quale sia il dominio della funzione
\[
(x, y)\mapsto x^y.\]
Non è una cosa matematicamente molto rilevante, quindi tendo a smorzare i toni su questo tema. Di solito, per evitare complicazioni inutili, si assume che il dominio sia \(x>0, y\in \mathbb R\).

[anto_zoolander]

@peppe

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

lo avevo precisato tirelli ma a quanto pare quel limite non vuole cambiare
alla fine penso che $f$ si possa estendere in modo tale che $0$ risulti di accumulazione e quindi calcolarci un limite.
Quantomeno è stato un bell'esercizio quantomeno penso sia corretto