Funzione in due variabili

[ValeForce]

Salve a tutti!
Mi servirebbe un aiuto col seguente esercizio:

Data la seguente funzione
$$f(x,y)=\begin{cases} \displaystyle\frac{|xy|^{\alpha}}{(x^2+3y^4)^2}\quad \text{per} \, (x,y)\neq(0,0) \\ \displaystyle 0 \quad \quad \quad \quad \text{per} \, (x,y)=(0,0) \end{cases}$$
studiare la continuità, la derivabilità parziale e la differenziabilità in $(0,0)$ al variare del parametro reale $\alpha>0$.

Riguardo la continuità, per iniziare, l’unica cosa che ho potuto concludere è che restringendo alle rette, per $\alpha\le 2$ il limite dipende da $m$ quindi non esiste. Come proseguo lo studio per $\alpha >2$?

[dissonance]

Per esempio usando la disuguaglianza
\[\tag{1}
(|x|^\alpha-|y|^\alpha)^2\ge 0. \]
Questo ti aiuta nel caso \(\alpha >4\). Resta da capire \(\alpha\in (2, 4]\).

P.S.: Usando \(|xy|^\alpha \le \frac{1}{p}|x|^{p\alpha} + \frac{1}{q}|y|^{q\alpha},\) dove \(\frac1p+\frac1q=1\), arrivo a dimostrare che la funzione è continua per \(\alpha >\frac83\), ma resta aperto il caso
\(\alpha\in (2, \frac83]\). Se qualcuno lo calcola mi farebbe piacere sapere cosa succede in questo intervallo.

[ValeForce]

Grazie dissonance...
Avevo fatto progressi, esattamente in quell'intervallo.
Restringendo sulla parabola $x=y^2$ si ha:
$$f(y^2,y)= \frac{|y|^{3\alpha}}{16\cdot y^8}=\frac{|y|^{3\alpha -8}}{16}$$
E quindi non la funzione non dovrebbe essere continua per $\alpha \le \frac{8}{3}$.

Testo nascosto, perché contrassegnato dall'autore come fuori tema. Fai click in quest'area per vederlo.

Questo esercizio è preso da un compito del professore di AM2 nel CdL di Matematica della mia Università. Forse da buon studente di Fisica dovrei starne alla larga, visto che finora (metà corso) non mi sono state presentate nessuna delle disuguaglianze che hai usato.
Ci sono anche altri esercizi strani nei suoi compiti come integrali di forme differenziali NON esatte su curve pazzesche ... chissà se sono errori di battitura...

[dissonance]

La prima disuguaglianza esprime solo il fatto che il quadrato di un numero reale non è negativo. Da cui discende immediatamente che
\[
|ab|\le \frac12a^2+\frac12b^2, \quad \forall a, b\in\mathbb R, \]
che è quello che usi qui con \(a=|x|^\alpha, b=|y|^\alpha\). Questo è un trucco fondamentale che usano un sacco pure i fisici.

La seconda disuguaglianza ne è una facile generalizzazione, invece di \(2\) e \(\frac12\) puoi prendere \(p, q\), dove \(\frac1p+\frac1q=1\). Secondo me senza questa disuguglianza è più difficile calcolare il limite di questo esercizio.