Serie di potenze, convergenza uniforme

Messaggioda Beppu95 » 12/02/2020, 18:41

Buongiorno a tutti, sto cercando di risolvere questo esercizio:
Sia data la $ sum_(k=0)^(oo)((-1)^kx^(2k+1))/(k!) $ .
- Determinare insieme di convergenza puntuale e l'insieme in cui la serie converge alla funzione somma. Si scelga uno di questi intervalli e ivi si provi la convergenza uniforme.

Io ho ragionato così:
Abbiamo $ a_k=((-1)^k)/(k!) $ e $ x_0=0 $

Mi son calcolato il raggio di convergenza col criterio del rapporto, facendo:

$ lim_(k -> oo) abs((-1)^(k+1)/((k+1)!)(k!)/(-1)^k)=lim_(k->oo)abs((-1)/(k+1))=0 $

Poichè il limite vale 0, il raggio di convergenza è +infinito.
Quando il raggio di convergenza è +infinito la serie converge puntualmente in ogni x appartenente ai reali e uniformemente in ogni intervallo chiuso e limitato del tipo $ [x_0-k; x_0+k] $
Tuttavia non sono riuscito a rispondere adeguatamente al quesito. Potreste aiutarmi?
Beppu95
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Re: Serie di potenze, convergenza uniforme

Messaggioda pilloeffe » 12/02/2020, 21:45

Ciao Beppu95,

Beh, si ha:

$\sum_{k = 0}^{+\infty}((-1)^kx^(2k+1))/(k!) = x \sum_{k = 0}^{+\infty}((-1)^kx^(2k))/(k!) = x \sum_{k = 0}^{+\infty}((-x^2)^k)/(k!) = x e^{-x^2} $
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Re: Serie di potenze, convergenza uniforme

Messaggioda Beppu95 » 13/02/2020, 18:00

Ciao, grazie mille per la risposta, posso chiederti una precisazione? Come hai semplificato il $ (-1)^k $ ?
Cioè non sappiamo quanto vale poichè può essere sia positivo che negativo ma mi sembra che tu l'abbia trattato come se fosse -1, puoi spiegarmi i perchè?
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Re: Serie di potenze, convergenza uniforme

Messaggioda pilloeffe » 13/02/2020, 20:56

Beppu95 ha scritto:Come hai semplificato il $(−1)^k $?

Non sono sicuro di aver capito la domanda... :wink:
Non ho semplificato, ho semplicemente fatto uso di note proprietà delle potenze:

$(-1)^k x^{2k} = (-1)^k (x^2)^k = (-1 \cdot x^2)^k = (- x^2)^k $
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Re: Serie di potenze, convergenza uniforme

Messaggioda Beppu95 » 14/02/2020, 20:07

Bomba, grazie mille. So che a volte le domande che vengono poste possono sembrare stupide, ma come ci dicevano alle elementari "le domande stupide non esistono" :D :D
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