Norma euclidea

Messaggioda Leonardo97 » 14/02/2020, 21:10

Buongiorno a tutti.
Ho una domanda banalissima, ma a scanso di equivoci chiedo lo stesso :oops: .

Consideriamo uno spazio vettoriale finito dimensionale $V$ sul campo $\mathbb{R}$, e una sua base $B={b_1,...,b_n}$.
La norma euclidea su $V$ è per definizione: $||.|| : V \to \mathbb{R} | ||v||=\sqrt{v_1^2+...+v_n^2}$ dove $v_1,...,v_n \in \mathbb{R}$ sono le coordinate di $v$ rispetto alla base $B$ (cioè $v=v_1b_1+...+v_nb_n$).

La domanda è: il valore della norma euclidea $||v||$ dipende dalla base $B$ scelta, vero?
Cioè ad esempio poniamo che stiamo considerando lo spazio vettoriale $\mathbb{R}$ su se stesso e prendiamo come sua base $B={b_1=5}$.
Dunque per esempio abbiamo che $||3||=|\frac{3}{5}|$ dato che $3=\frac{3}{5}b_1$.

So che è una cosa banale, ma non ci avevo mai pensato, visto che di solito si usa sempre la base canonica per $\mathbb{R}^n$.
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Re: Norma euclidea

Messaggioda Sergio » 14/02/2020, 23:43

Leonardo97 ha scritto:La norma euclidea su $V$ è per definizione: $||.|| : V \to \mathbb{R} | ||v||=\sqrt{v_1^2+...+v_n^2}$ dove $v_1,...,v_n \in \mathbb{R}$ sono le coordinate di $v$ rispetto alla base $B$ (cioè $v=v_1b_1+...+v_nb_n$).

E dove hai trovato questa definizione?
Io non l'ho mai vista.
"Se vuoi un anno di prosperità coltiva del riso. Se vuoi dieci anni di prosperità pianta degli alberi. Se vuoi cento anni di prosperità istruisci degli uomini" (proverbio cinese). E invece... viewtopic.php?p=236293#p236293
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Re: Norma euclidea

Messaggioda Leonardo97 » 14/02/2020, 23:51

Su un qualunque libro di algebra lineare. Ad esempio il Marco Abate, pagina 281, definizione 12.13.
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Re: Norma euclidea

Messaggioda Sergio » 15/02/2020, 00:00

Leonardo97 ha scritto:Su un qualunque libro di algebra lineare. Ad esempio il Marco Abate, pagina 281, definizione 12.13.

Assolutamente no. Copio la definizione 12.13 di Abate:

Uno spazio vettoriale metrico reale o complesso è uno spazio vettoriale $V$ su $RR$ o su $CC$ provvisto di un prodotto scalare (o herimitiano nel caso complesso) $\langle\cdot,\cdot\rangle$ definito positivo. La norma \(\lVert\cdot\rVert: V\to \mathbb{R}^+\) in questo spazio vettoriale metrico è definita da
\[\lVert v\rVert=\sqrt{\langle v,v\rangle}\]La norma \(\lVert v\rVert\) di un vettore $v$ si dice anche lunghezza di $v$.

Non parla di basi né di coordinate rispetto a una base. Nemmeno un accenno.
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Re: Norma euclidea

Messaggioda axpgn » 15/02/2020, 00:09

Su "Geometria - Marco Abate" 1996 - 1^ ed. a pag.281 c'è questa definizione:

Definizione 12.13
Uno spazio metrico vettoriale reale o complesso è uno spazio vettoriale $V$ su $RR$ o su $CC$ provvisto di un prodotto scalare (o hermitiano nel caso complesso) $<*,*>$ definito positivo.
La norma $||*||$ : $V -> RR^+$ in questo spazio metrico vettoriale è definita da $||v|| = sqrt(<v,v>)$
La norma $||v||$ di un vettore $v$ si dice anche lunghezza di $v$.


EDIT: ooops, arrivato tardi :D
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Re: Norma euclidea

Messaggioda Sergio » 15/02/2020, 00:15

axpgn ha scritto:EDIT: ooops, arrivato tardi :D

Repetita iuvant :D
Si spera...
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Re: Norma euclidea

Messaggioda Leonardo97 » 15/02/2020, 00:21

Quindi intendete dire che $||.|| : V \to \mathbb{R}^+ | ||v||=\sqrt{v_1^2+...+v_n^2}$ non è una norma di $V$ spazio vettoriale finito dimensionale su $\mathbb{R}$??
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Re: Norma euclidea

Messaggioda Leonardo97 » 15/02/2020, 00:25

Sono un po' perplesso...

$$\langle | \rangle : V \times V \to \mathbb{R}^+ \mid \langle v|w \rangle=v_1w_1+...+v_nw_n$$ è chiaramente un prodotto scalare definito positivo di $V$.

Dunque $$||v||=\sqrt{\langle v|v \rangle}=\sqrt{v_1^2+...+v_n^2}$$ è una norma indotta da tale prodotto scalare.
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Re: Norma euclidea

Messaggioda Sergio » 15/02/2020, 00:26

No. Intendiamo dire che la norma euclidea di un vettore $v\in RR^n$ non è altro che la radice quadrata della somme dei quadrati delle sue componenti, non delle sue coordinate rispetto a una base.
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Re: Norma euclidea

Messaggioda Sergio » 15/02/2020, 00:29

Leonardo97 ha scritto:Sono un po' perplesso...

$$\langle | \rangle : V \times V \to \mathbb{R}^+ \mid \langle v|w \rangle=v_1w_1+...+v_nw_n$$ è chiaramente un prodotto scalare definito positivo di $V$.

Dunque $$||v||=\sqrt{\langle v|v \rangle}=\sqrt{v_1^2+...+v_n^2}$$ è una norma indotta da tale prodotto scalare.

Certo. Ma $v_i$ e $w_j$ sono le componenti dei vettori $v$ e $w$, non sono le coordinate rispetto a una qualche base.
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