Buongiorno a tutti.
Ho una domanda banalissima, ma a scanso di equivoci chiedo lo stesso .
Consideriamo uno spazio vettoriale finito dimensionale $V$ sul campo $\mathbb{R}$, e una sua base $B={b_1,...,b_n}$.
La norma euclidea su $V$ è per definizione: $||.|| : V \to \mathbb{R} | ||v||=\sqrt{v_1^2+...+v_n^2}$ dove $v_1,...,v_n \in \mathbb{R}$ sono le coordinate di $v$ rispetto alla base $B$ (cioè $v=v_1b_1+...+v_nb_n$).
La domanda è: il valore della norma euclidea $||v||$ dipende dalla base $B$ scelta, vero?
Cioè ad esempio poniamo che stiamo considerando lo spazio vettoriale $\mathbb{R}$ su se stesso e prendiamo come sua base $B={b_1=5}$.
Dunque per esempio abbiamo che $||3||=|\frac{3}{5}|$ dato che $3=\frac{3}{5}b_1$.
So che è una cosa banale, ma non ci avevo mai pensato, visto che di solito si usa sempre la base canonica per $\mathbb{R}^n$.