Re: Norma euclidea

Messaggioda Leonardo97 » 15/02/2020, 00:37

In uno spazio vettoriale $V$ finito dimensionale sul campo $\mathbb{R}$ le componenti di un suo generico vettore $v \in V$ cosa sono? Io ho sempre saputo fossero i numerini $v_1,...,v_n \in \mathbb{R}$ tali che $v=v_1b_1+...+v_nb_n$, dove $B={b_1,...,b_n}$ è una base di $V$. Quindi le componenti di un vettore $v \in V$ dipendono dalla base scelta. Oppure con componenti voi intendete qualcosa di diverso?
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Re: Norma euclidea

Messaggioda Leonardo97 » 15/02/2020, 00:42

Vi allego il seguente link: https://www.youmath.it/lezioni/algebra- ... -base.html

Leggete le prime righe.

Beninteso, vi ringrazio moltissimo del vostro intervento, non vorrei avervi dato l'impressione di dare il vostro gentile aiuto come scontato.
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Re: Norma euclidea

Messaggioda Sergio » 15/02/2020, 00:51

Leonardo97 ha scritto:In uno spazio vettoriale $V$ finito dimensionale sul campo $\mathbb{R}$ le componenti di un suo generico vettore $v \in V$ cosa sono? Io ho sempre saputo fossero i numerini $v_1,...,v_n \in \mathbb{R}$ tali che $v=v_1b_1+...+v_nb_n$, dove $B={b_1,...,b_n}$ è una base di $V$. Quindi le componenti di un vettore $v \in V$ dipendono dalla base scelta. Oppure con componenti voi intendete qualcosa di diverso?

Le componenti di $v=(v_1,...,v_n)$ non sono altro che $v_1,...,v_n$.
La base canonica è tale che le coordinate di $v$ rispetto alla base canonica sono ancora $v_1,...,v_n$, ma se cambi base le coordinate cambiano, le componenti rimangono quelle che erano.
Ad esempio, sia $v=(3,2)$.
Le coordinate rispetto alla base canonica sono $(3,2)$.
Le coordinate rispetto alla base $\{(1,1),(1,0)\}$ sono $(2,1)$. Ma le componenti sono ancora $(3,2)$, infatti:
$v=2(1,1)+1(1,0)=(2,2)+(1,0)=(3,2)$.
In parole povere, le componenti "non spariscono" se cambi base.

Quanto a una norma basata su un prodotto scalare, il prodotto scalare opera sulle componenti dei vettori.
Quello che opera sulle coordinate rispetto a una base è la matrice associata al prodotto scalare, ma è un'altra storia.
Ultima modifica di Sergio il 15/02/2020, 00:55, modificato 1 volta in totale.
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Re: Norma euclidea

Messaggioda Sergio » 15/02/2020, 00:53

Leonardo97 ha scritto:Vi allego il seguente link: https://www.youmath.it/lezioni/algebra- ... -base.html
Leggete le prime righe.

Ottimo esempio di esposizione alquanto pedestre. E dannosa.
Trovami un testo SERIO che dica le stesse baggianate.
"Se vuoi un anno di prosperità coltiva del riso. Se vuoi dieci anni di prosperità pianta degli alberi. Se vuoi cento anni di prosperità istruisci degli uomini" (proverbio cinese). E invece... viewtopic.php?p=236293#p236293
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Re: Norma euclidea

Messaggioda Leonardo97 » 15/02/2020, 01:02

Grazie mille del chiarimento. Si può dire allora che per definizione le componenti di un vettore sono le sue coordinate relative alla base canonica?

Il punto è che però in uno spazio vettoriale generico (non $\mathbb{R}^n$) le componenti di $v$ quali sono?
Cioè in uno spazio vettoriale che non è $\mathbb{R}^n$, e quindi $v$ non si può scrivere come una n-upla $(v_1,...,v_n)$, allora quali sono le componenti di $v$?

Grazie ancora :)
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Re: Norma euclidea

Messaggioda Sergio » 15/02/2020, 01:10

Leonardo97 ha scritto:Grazie mille del chiarimento. Si può dire allora che per definizione le componenti di un vettore sono le sue coordinate relative alla base canonica?

Ha senso parlare di componenti solo per gli elementi di $RR^n$. Un vettore $v$ di $RR^n$ è una $n$-upla di $n$ componenti. Una matrice $A$ di $M_2(RR)$ non ha componenti, è solo una matrice $2\times 2$. Un polinomio $p$ di $RR_2[x]$ non ha componenti, è solo un polinomio.

Restando a $RR^n$, è la base canonica quella che è definita come la base rispetto alla quale i vettori di $RR^n$ hanno coordinate uguali alle componenti. Non viceversa. Questo perché la basi cambiano, ma le componenti di un dato vettore $v\in RR^n$ sono e rimangono sempre le stesse.
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Re: Norma euclidea

Messaggioda Leonardo97 » 15/02/2020, 01:14

Quindi se ho la norma $||v||=\sqrt{v_1^2+...+v_n^2}$ dove $v \in V$ spazio vettoriale diverso da $\mathbb{R}^n$, allora $v_1,...,v_n$ cosa sono? Se come dici tu ha senso parlare di componenti solo in $\mathbb{R}^n$, allora per il mio $v \in V \ne \mathbb{R}^n$ non ha senso parlare di componenti, e quindi non posso nemmeno parlare di norma su $V \ne \mathbb{R}^n$?

Mi sta cadendo una certezza...
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Re: Norma euclidea

Messaggioda Sergio » 15/02/2020, 01:27

Leonardo97 ha scritto:Quindi se ho la norma $||v||=\sqrt{v_1^2+...+v_n^2}$ dove $v \in V$ spazio vettoriale diverso da $\mathbb{R}^n$, allora $v_1,...,v_n$ cosa sono? Se come dici tu ha senso parlare di componenti solo in $\mathbb{R}^n$, allora per il mio $v \in V$ non ha senso parlare di componenti, e quindi non posso nemmeno parlare di norma su $V$?

Mi sta cadendo una certezza...

Se la "certezza" è che esiste solo la norma euclidea su $RR^n$, è bene che cada :wink:
Guarda ad esempio in quanti modi può essere definita una norma matriciale: qui.
Va anche peggio per norme di polinomi, dove entrano in gioco integrali e derivate: qui.

La norma euclidea su $RR^n$ presenta diversi vantaggi: è semplice e ha molteplici applicazioni. Ma esistono altre norme per $RR^n$ che non hanno niente a che vedere con un prodotto scalare, ad esempio \(\Vert v\rVert_\infty = \max\lvert v_i\rvert\) (v. qui).

Ecco un esempio della norma più divertente, detta "del taxi" o "di Manhattan": \(\lVert v\rVert_1=\sum_i \lvert x_i \rvert\). La distanza basata su questa norma, nel caso del grafico, è: \(\lvert 7-(-4)\rvert + \lvert 2-(-2)\rvert=15\), e non è altro che la distanza che un taxi dovrebbe coprire per portarti dal punto $(-4,-2)$ al punto $(7,2)$ seguendo strade con un reticolo come quello di Manhattan.
        Internet Explorer richiede Adobe SVG Viewer per visualizzare il grafico


La distanza in linea d'aria sarebbe ovviamente la distanza euclidea: \(\sqrt{(x-y)^T(x-y)}=\sqrt{\begin{bmatrix} 11 & 4 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 11 \\ 4 \end{bmatrix}}=11.7\), ma i taxi ancora non volano. Almeno non ancora...
Ultima modifica di Sergio il 15/02/2020, 01:54, modificato 1 volta in totale.
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Re: Norma euclidea

Messaggioda Leonardo97 » 15/02/2020, 01:50

Quindi non posso parlare di norma euclidea al di fuori di $\mathbb{R}^n$ poiché non starei più ragionando con n-uple che quindi hanno delle componenti?

Non penso sia cosi...

Guardiamo i seguenti fatti:

Sia $V$ un generico spazio vettoriale finito dimensionale (di dimensione $n$) sul campo $\mathbb{R}$. Sia $B={b_1,...,b_n}$ una sua generica base. ($V$ non è detto che sia $\mathbb{R}^n$, anzi facciamo che sia proprio diverso per nostra ipotesi).

STEP 1:Una funzione del tipo $\langle \rangle : V \times V \to \mathbb{R}^+$ che soddisfa le seguenti proprietà:

$1)\langle v|w \rangle=\langle w|v \rangle$, $2)\langle v+u|w \rangle=\langle v|w \rangle+\langle u|w \rangle$, $3)\langle \lambda v|w \rangle=\lambda \langle v|w \rangle$, $4)\langle v|v \rangle \ge 0$.

si dice un prodotto scalare definito positivo di $V$. (fin qui d'accordo?)

STEP 2:Ora $\langle \rangle : V \times V \to \mathbb{R}^+ | \langle v|w\rangle=v_1w_1+...+v_nw_n$ si verifica facilmente essere un prodotto scalare definito positivo di $V$, dove $v_1,...,v_n$ e $w_1,...,w_n$ sono rispettivamente le coordinate di $v \in V$ e $w \in V$ rispetto alla base $B$. ($\langle \rangle$ cosi definito è un prodotto scalare definito positivo di $V$ perché soddisfa le $1,2,3,4$)

STEP 3:Ora, la funzione $||.|| : V \to \mathbb{R}^+ | ||v||=\sqrt{\langle v|v \rangle}=\sqrt{v_1^2+...+v_n^2}$ è quindi una norma di $V$ indotta dal sopra definito prodotto scalare definito positivo di $V$.
Ebbene, il valore $||v||=\sqrt{v_1^2+...+v_n^2}$ DIPENDE dalla base $B$ scelta, dato che variando $B$ variano le $v_1,...,v_n$.

Quale STEP non ti convince?
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Re: Norma euclidea

Messaggioda Leonardo97 » 15/02/2020, 02:20

So che esistono molte norme diverse, alcune non definite a partire da prodotti scalari. Non mi pare però che c'entri molto con il mio dubbio. :?
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