da Leonardo97 » 15/02/2020, 10:31
Sei riuscito a chiarirmi un bel dubbio che inconsciamente mi portavo dietro da un bel po'.
Riassumendo quello che mi hai spiegato: un prodotto salare e/o una norma definiti su un generico spazio vettoriale $V$ non sono ovviamente buoni se dipendono dalla scelta di una base su $V$, cioè se il loro output numerico varia al variare della base scelta.
Dunque, non ha senso definire per uno spazio vettoriale $V$ diverso da $\mathbb{R}^n$ o $\mathbb{C}^n$ un prodotto scalare del tipo: $\langle | \rangle : V \times V \to \mathbb{R} | \langle v|w \rangle=v_1w_1+...+v_nw_n$ dove $v_1,...,v_n,w_1,...,w_n$ rappresentano le coordinate dei due vettori $v$ e $w$ rispetto a una fissata base di $V$, in quanto tale funzione, pur essendo una applicazione bilineare simmetrica definita positiva, dipende dalla base scelta, e questo non va bene.
Di conseguenza non ha nemmeno senso parlare di una norma $||.|| : V \to \mathbb{R}^+ | ||v||=\sqrt{\langle v|v \rangle}=\sqrt{v_1^2+...+v_n^2}$ se $V \ne \mathbb{K}^n$ (con $\mathbb{K}$ intendo $\mathbb{R}$ oppure $\mathbb{C}$).
Insomma per fare un esempio concreto, la p-norma $$||.||_p : \mathbb{K}^n \to \mathbb{R}^+ | \quad || (x_1,...,x_n) ||_p=(\sum_{i=1}^n |x_i|^p)^{\frac{1}{p}}$$ non può essere in generale definita in uno spazio vettoriale arbitrario generico diverso da $\mathbb{K}^n$, dato che mancherebbero appunto le famose componenti ($x_1,...,x_n$) di cui parlavi (e che esistono ovviamente solo in $\mathbb{K}^n$).
Sarebbe insomma un errore dire che su $V$ (generico spazio vettoriale finito dimensionale sul campo $\mathbb{R}$) considero la "p-norma"
$$||.||_p : V \to \mathbb{R}^+ | \quad || v ||_p=(\sum_{i=1}^n |v_i|^p)^{\frac{1}{p}}$$
dove $v_1,...,v_n \in \mathbb{R}$ sono le coordinate di $v \in V$ rispetto a una arbitraria base $B$ di $V$.
Giusto?
Grazie mille per il chiarimento!
Per $n$ che va a infinito siamo tutti morti.