Inversa destra di \( g\mapsto gH \) su un gruppo finito

Messaggioda marco2132k » 10/02/2020, 23:40

Ciao. Oggi all'esame di algebra ho cannato questo esercizio. Siano \( G \) è un gruppo finito, \( H\leqq G \) un suo sottogruppo e \( \phi \) la funzione \( G\to\left\{gH\right\}_{g\in G} \) che mappa \( g\in G \) con la classe laterale \( gH \). Se \( \psi \) è un'inversa destra di \( \phi \)
1. provare che \( g^{-1}(\psi\circ\phi)(g) \) sta in \( H \) per ogni \( g\in G \);
2. provare che \( \psi \) è iniettiva; (questo è ok, lo metto per tenermi la traccia ché non ho il foglio sotto mano)
3. provare che la funzione \( \omega\colon\psi_*\left\{gH\right\}_{g\in G}\times H\to G \) che mappa \( (t,h)\mapsto th \) è biiettiva.

So che in un gruppo finito valgono delle proprietà particolari (e ovvie, come il fatto che l'inverso di un elemento è una sua potenza positiva); però non me le sono ricordate al momento giusto. Ci ragiono su queste o preferite darmi un hint?
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Re: Inversa destra di \( g\mapsto gH \) su un gruppo finito

Messaggioda arnett » 11/02/2020, 08:34

Mezzo hint: al di là dell'essere definita come inversa destra (metterla così risolve subito il punto due), $\psi$ è una funzione che che ad ogni laterale associa un rappresentante; in altre parole $\psi(\{gH:g\in G\})$ è un trasversale sinistro per $H$ (se non sto prendendo una cantonata).
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Re: Inversa destra di \( g\mapsto gH \) su un gruppo finito

Messaggioda Overflow94 » 11/02/2020, 14:21

hint esercizio 1: $ gH=vH <=> g^-1v in H $
esercizio 3: non capisco come è definita la funzione ( $ t $ è un coset, $ h $ un elemento di $ H $ cosa significa il loro prodotto?)
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Re: Inversa destra di \( g\mapsto gH \) su un gruppo finito

Messaggioda marco2132k » 11/02/2020, 14:54

Intanto grazie! Ora ci penso.

@Overflow Se \( f \) è una funzione \( S\to T \), con \( f_* \) denoto la funzione \( \mathscr P(S)\to\mathscr P(T) \) che mappa un insieme con la sua immagine tramite \( f \). Quindi \( \psi_*\left\{gH\right\}_{g\in G} \) significa, per i mortali, \( \psi\left(\{gH:h\in H\}\right) \).
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Re: Inversa destra di \( g\mapsto gH \) su un gruppo finito

Messaggioda arnett » 11/02/2020, 15:35

Testo nascosto, perché contrassegnato dall'autore come fuori tema. Fai click in quest'area per vederlo.
marco2132k ha scritto:per i mortali


In una notazione comprensibile e non inutilmente barocca*.
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Re: Inversa destra di \( g\mapsto gH \) su un gruppo finito

Messaggioda marco2132k » 11/02/2020, 17:48

@arnett Non abbiamo mai definito i trasversali (anche se ricordo di aver dimostrato il teorema di Lagnrage per cardinalità non finite proprio considerando i trasversali). Avrei dovuto notarlo... :-)

@Overflow94 Avevo pensato di applicare \( \phi \) a \( g^{-1}(\phi\circ\psi)(g) \), ma mi sono bloccato perché non so se \( \phi \) rispetti la moltiplicazione. Questo sarebbe sicuramente vero se \( H \) fosse normale o se \( G \) fosse abeliano. È vero anche se \( G \) è finito? In tal caso, dal tuo suggerimento si ha subito la tesi.

Credo di riuscire a fare il terzo, a questo punto: la funzione \( \omega \) è suriettiva, perché 1) dato \( g\in G \) è anche \( g = \omega(g,1) \) perché \( g\in\psi({gH:g\in G}) \) ( :-) ); 2) se \( (t_1,h_1)\neq (t_2,h_2) \) in \( \left\{gH\right\}_{g\in G}\times H \), è anche \( t_1h_1\neq t_2h_2 \), perché se i \( t_i \) sono differenti rappresentano necessariamente cosets differenti, quindi ammettere \( t_1h_1 = t_2h_2 \) sarebbe assurdo: avremmo \( t_2^{-1}t_1\in H \). \( \square \)
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Re: Inversa destra di \( g\mapsto gH \) su un gruppo finito

Messaggioda arnett » 11/02/2020, 18:28

È più semplice di come pensi: come dicevo, $\psi$ deve soddisfare(la richiesta sta nell'ultima uguaglianza: \[gH \stackrel{\psi}{\mapsto} \tilde g \stackrel{\phi}{\mapsto}\tilde gH=gH \] e cioè deve essere tale che $g^{-1}\tilde g \in H$.

Quando applichi $\phi$ a $g$ lo mandi in $gH$ poi questo viene mandato in un $\tilde g$ come sopra e hai subito che $g^{-1}\tilde g \in H$.

Per il terzo osserva che $\psi(\{gH:g \in G\})$ è appunto un trasversale sinistro di $H$ in $G$ o, per dirla a parole, un sistema completo di rappresentanti per i coset $gH$. Cioè: per ogni $g \in G$ esiste $\tilde g \in \psi(\{gH:g \in G\})$ tale che $\tilde g H= gH$, e tale $\tilde g$ è unico nel senso che se $g_1 \ne g_2$ stanno entrambi in $\psi(\{gH:g \in G\})$, allora $g_1H \ne g_2H$. L'affermazione che questo insieme è proprio un trasversale è precisamente fatto che $\phi$ è funzione (ad ogni laterale viene associato uno e non più d'un rappresentante).

Allora la mappa del punto 3 ha un'ovvia inversa: preso un qualsiasi $k$ in $G$, esso sta in uno (e solo in uno) dei laterali $gH$ al variare di $g$ in $G$, poiché questi ripartiscono $G$. Questo laterale avrà un rappresentante univocamente determinato in $\psi(\{gH:g \in G\})$: è il nostro $t$. A quel punto anche $h$ è univocamente determinato da $h=t^{-1}k$.

La tua iniettività mi sembra filare, la suriettività no: nulla ti assicura che $g$ stia nel trasversale; anzi, verisimilmente ci sarà un diverso rappresentante per $gH$. Ma $g$ sta sicuramente in qualche coset $pH$...
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Re: Inversa destra di \( g\mapsto gH \) su un gruppo finito

Messaggioda marco2132k » 16/02/2020, 16:27

Sono qui, scusa il ritardo. È tutto chiaro. grazie!

In effetti avevo pensato che la suriettività di \( \psi \) si potesse ricavare dal fatto che \( G \) ha cardinalità finita.
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