Ciao. Oggi all'esame di algebra ho cannato questo esercizio. Siano \( G \) è un gruppo finito, \( H\leqq G \) un suo sottogruppo e \( \phi \) la funzione \( G\to\left\{gH\right\}_{g\in G} \) che mappa \( g\in G \) con la classe laterale \( gH \). Se \( \psi \) è un'inversa destra di \( \phi \)
1. provare che \( g^{-1}(\psi\circ\phi)(g) \) sta in \( H \) per ogni \( g\in G \);
2. provare che \( \psi \) è iniettiva; (questo è ok, lo metto per tenermi la traccia ché non ho il foglio sotto mano)
3. provare che la funzione \( \omega\colon\psi_*\left\{gH\right\}_{g\in G}\times H\to G \) che mappa \( (t,h)\mapsto th \) è biiettiva.
So che in un gruppo finito valgono delle proprietà particolari (e ovvie, come il fatto che l'inverso di un elemento è una sua potenza positiva); però non me le sono ricordate al momento giusto. Ci ragiono su queste o preferite darmi un hint?