Nucleo applicazione lineare avente solo base di partenza e arrivo

Messaggioda SwirlyManager75 » 16/02/2020, 22:49

Salve a tutti ragazzi potreste darmi una mano a capire come risolvere il seguente esercizio?

Consideriamo lo spazio vettoriale V = Matr(2,2(R)) costituito delle matrici 2 x 2 a
coefficienti reali, e sia F:V---->V l'applicazione lineare che manda le matrici della base standard di V

$ ({: ( 1 , 0 ),( 0 , 0 ) :}) $ $ ({: ( 0 , 1 ),( 0 , 0 ) :}) $ $ ({: ( 0 , 0 ),( 1 , 0 ) :}) $ $ ({: ( 0 , 0 ),( 0 , 1 ) :}) $

rispettivamente in:
$ ({: ( 1 , 0 ),( 0 , 1 ) :} )$ $ ({: ( 0 , 0 ),( 1 , 1 ) :} )$ $ ({: ( 1 , 0 ),( 1 , 0 ) :} )$ $ ({: ( 1 , a ),( 3, 4) :} )$

per quali valori del parametro a, l'applicazione lineare f ha nel nucleo solo la matrice 0 appartenete a V?
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Re: Nucleo applicazione lineare avente solo base di partenza e arrivo

Messaggioda solaàl » 16/02/2020, 23:31

Per quali $a\in RR$ i 4 vettori $ ({: ( 1 , 0 ),( 0 , 1 ) :} )$ $ ({: ( 0 , 0 ),( 1 , 1 ) :} )$ $ ({: ( 1 , 0 ),( 1 , 0 ) :} )$ $ ({: ( 1 , a ),( 3, 4) :} )$ formano una base di $M_{2,2}(RR)$?
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Re: Nucleo applicazione lineare avente solo base di partenza e arrivo

Messaggioda SwirlyManager75 » 17/02/2020, 00:26

Ooooh...quindi devo vedere per quali a sono linearmente indipendenti...ma...perchè?
so che il nucleo di un'applicazione lineare è l'insieme degli elementi del dominio V che hanno per immagine mediante F lo 0 del codominio...quindi essendo un'applicazione che va da V in V stesso mi basta trovare l'immagine dello 0 che si trova risolvendo il sistema associato alla matrice
$ ({: ( x+z+t , ta ),( y+z+3t , x+y+4t ) :}) $ giusto?

ciò significherebbe che la soluzione sarebbe per a=0
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Re: Nucleo applicazione lineare avente solo base di partenza e arrivo

Messaggioda solaàl » 17/02/2020, 00:38

A meno dell'isomorfismo \(\left(\begin{smallmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22}\end{smallmatrix}\right)\mapsto \left(\begin{smallmatrix} a_{11} \\ a_{12} \\ a_{21} \\ a_{22} \end{smallmatrix}\right)\) che identifica $M_{2,2}(RR)$ con $RR^4$, $F$ è un endomorfismo di $RR^4$; ora, un endomorfismo tra spazi vettoriali di dimensione finita è iniettivo se e solo se è suriettivo se e solo se è biiettivo se e solo se manda una base in una base se e solo se ha determinante diverso da zero; quindi un modo alternativo di procedere è fare un determinante di una matrice 4x4, esattamente quella che ha per colonne le matrici immagine della base canonica mediante $F$; già che ci siamo, il determinante fa $-2a$, quindi per ogni $a\ne 0$ $F$ è iniettivo, quindi un isomorfismo.
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Re: Nucleo applicazione lineare avente solo base di partenza e arrivo

Messaggioda SwirlyManager75 » 17/02/2020, 02:32

ok penso di esserci, in pratica vedo che la matrice ha rango 4 per a $ != $0
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