Salve a tutti, studiando la continuità delle funzioni, mi è venuto questo dubbio :
Consideriamo la funzione $ f(x)={ ( x^2sin(1/x) if x!= 0 ),(( 0 if x=0)):} $
La funzione $f'(x)$ , possiede una discontinuità di seconda specie ma nonostante tutto gode della proprietà dei valori intermedi .Questo significa che se una funzione possiede la proprietà dei valori intermedi, non è detto che essa sia continua .
A questo punto mi chiedo, ma $f(x)$ è integrabile?esiste una primitiva ?
Lo stesso discorso vale per la funzione parte intera : $y=[x]$, essa però possiede a differenza della prima, delle discontinuità di tipo salto dunque dovrebbe essere integrabili "alla Riemann" anche se non è possibile trovare la primitiva?
P.S.
Perché le funzioni derivate non possono avere punti di discontinuità di tipo salto ma solo di seconda e terza specie ?