PDF riusultato estrazione dadi truccati.

Messaggioda matte.c » 17/02/2020, 10:16

Buongiorno,
Chiedo una mano per questo esercizio trovato in un testo di esame vecchio che dice
Si considerino 3 scatole ciascuna delle quali contiene, rispettivamente, 1 dado non truccato ed 1 dado truccato, 2 dadi non truccati ed 1 dado truccato, 3 dadi non truccati e 2 dadi truccati.
La probabilità di scegliere la scatola A è di 1/6 (A)
La probabilità di scegliere la scatola B è di 2/3 (B)
La probabilità di scegliere la scatola C è di 1/6 (C)
i dadi non truccati restituiscono un punteggio da 1 a 6 con probabilità 1/6 ($D_N$).
i dadi truccati restituiscono un punteggio 1,3,5 con probabilità 1/9 e un punteggio 2,4,6 con probabilità 2/9 ($D_T$).

Domanda:
1)determinare la PDF di $eta$ che restituisce il punteggio del dado.
2)costruire la pdf che restituisce la somma del risultato dato dalla estrazione di due dadi tra le 3 scatole


ora io ho fatto in questo modo.
probabilità scelta di una scatola:
$P(A)=1/6$
$P(B)=2/3$
$P(C)=1/6$

Probabilità scelta dadi nelle scatole:
$P(D_T|A)=P(D_N|1)=1/2$
$P(D_T|B)=1/3$
$P(D_N|B)=2/3$
$P(D_T|C)=2/5$
$P(D_N|C)=3/5$

Probabilità uscita risultati.
$P(1|D_T)=P(3|D_T)=P(5|D_T)=1/9$
$P(2|D_T)=P(4|D_T)=P(6|D_T)=1/9$
$P(1|D_N)=P(2|D_N)=P(3|D_N)=P(4|D_N)=P(5|D_N)=P(6|D_N)=1/6$

ora io ho agito in questo modo
per l uscita del numero 1 la probabilita dado truccato è
$(P(1|D_T) * P(D_T|A) * P(A) )+ (P(1|D_T) * P(D_T|B) * P(B) ) + (P(1|D_T) * P(D_T|C) * P(C) )$ =
=$(1/9*1/2*1/6)+(1/9*1/3*2/3)+(1/9*2/5*1/6)=0,041$

per l uscita del numero 1 la probabilita dado truccato è
$(P(1|D_N) * P(D_N|A) * P(A) )+ (P(1|D_N) * P(D_N|B) * P(B) ) + (P(1|D_N) * P(D_N|C) * P(C) )$=
=$(1/6*1/2*1/6)+(1/6*1/3*2/3)+(1/6*2/5*1/6)=0,062$

quindi la prob. è la somma dei due risultati $P(1)=0.103$

e cosi per tutti gli altri risultati.
mi chiedo se il procedimento sia giusto, essendo un po troppo macchinoso, o se si potesse semplificarlo.

per quanto invece riguarda la seconda domanda ho dei dubbi su come impostarlo ( userei la condizionata ma ho problemi ad impostarla).
matte.c
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Re: PDF riusultato estrazione dadi truccati.

Messaggioda apatriarca » 19/02/2020, 20:37

Si potevano fare i calcoli un po' più velocemente. Per prima cosa si può osservare che la probabilità di ottenere un determinato punteggio sarà uguale a:
\[ P(k) = P(D_N)\,P(k \mid D_N) + P(D_T)\,P(k \mid D_T) \]
A questo punto hai che \( P(k \mid D_N) = 1/6 \) indipendentemente dal valore di \(k\) e che
\[ P(k \mid D_T) = \begin{cases}
1/9 & \text{se } k \in \{1, 3, 5\} \\
2/9 & \text{se } k \in \{2, 4, 6\}
\end{cases} \]
Abbiamo quindi che
\[ P(k) = \begin{cases}
P(D_N)/6 + P(D_T)/9 & \text{se } k \in \{1, 3, 5\} \\
P(D_N)/6 + 2\,P(D_T)/9 & \text{se } k \in \{2, 4, 6\}
\end{cases} \]
A questo punto rimane solo da calcolare \(P(D_N)\) e \(P(D_T)\), ma siccome i due eventi sono complementari è sufficiente calcolarne uno dei due. Calcoliamo quindi \(P(D_N)\) e avremo che \(P(D_T) = 1 - P(D_N)\). In questo caso abbiamo quindi:
\[ \begin{align*}
P(D_N) &= P(A)\,P(D_N \mid A) + P(B)\,P(D_N \mid B) + P(C)\,P(D_N \mid C) \\
&= \frac{1}{6}\,\frac{1}{2} + \frac{2}{3}\,\frac{2}{3} + \frac{1}{6}\,\frac{3}{5} \\
&= \frac{1}{12} + \frac{4}{9} + \frac{1}{10} \\
&= \frac{15 + 80 + 18}{180} = \frac{113}{180}
\end{align*} \]
Da questo possiamo calcolare \(P(D_T) = 1 - P(D_N) = 67/180\) e infine
\[ P(k) = \begin{cases}
\frac{113}{180}\,\frac{1}{6} + \frac{67}{180}\,\frac{1}{9} = \frac{473}{3240} & \text{se } k \in \{1, 3, 5\} \\
\frac{113}{180}\,\frac{1}{6} + \frac{67}{180}\,\frac{2}{9} = \frac{607}{3240} & \text{se } k \in \{2, 4, 6\}
\end{cases} \]
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Re: PDF riusultato estrazione dadi truccati.

Messaggioda apatriarca » 19/02/2020, 20:56

EDIT: Per quanto riguarda il tuo calcolo, hai in realtà scritto i numeri sbagliati. In particolare il secondo valore di ogni tripletta di frazioni è uguale tra i due calcoli ma dovrebbe variare.

Nel secondo punto non è del tutto chiaro se l'estrazione dei due dati è indipendente (si può insomma estrarre due volte lo stesso dado) oppure no. Assumendo sia il primo caso, si tratta semplicemente di sommare le probabilità di tutti i possibili modi in cui i due dadi sommano ad un particolare risultato. È di nuovo un calcolo abbastanza lungo.
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Re: PDF riusultato estrazione dadi truccati.

Messaggioda matte.c » 15/04/2020, 15:33

Grazie mille per la risposta.
infatti mi stavo perdendo anche nei calcoli di questo esercizio.
sei stato utilissimo.
matte.c
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