Sia $lim_(x to 0)(x^2)/(2x-1)=0$
Sia il punto di accumulazione e il valore limite sono finiti, per cui devo far fede a:
$lim_(x to x_0)f(x)=l <=> forall epsilon >0 \ EE delta >0 \:\ forall x in dom(f) : 0<|x-x_0|<delta \ to \ |f(x)-l| < epsilon$
Siamo ricondotti alla studio della seguente disequazione
$|x^2/(2x-1)|<epsilon,$
e verificare che sia soddisfatta in un intorno di $0.$
Fissato $epsilon >0$ occorre risolvere il seguente sistema
\(\displaystyle \ S=\begin{cases} \epsilon>0 \\ \tfrac{x^2}{2x-1}<\epsilon \\ \tfrac{x^2}{2x-1}>-\epsilon \end{cases} \)
La prima disequazione del sistema $S$ è soddisfatta in tutto $RR.$
Considero la seconda disequazione quindi
$x^2/(2x-1)<epsilon <=> (x^2-2epsilonx+epsilon)/(2x-1)<0$
Studio del segno del numeratore
$x^2-2epsilonx+epsilon>0$ sia l'equazione associata $x^2-2epsilonx+epsilon=0$ quindi si ha
$Delta=4epsilon(epsilon-1)$ si ha $Delta >0 <=> epsilon<0\ "o" \ epsilon>1$ la prima deve essere scartata perchè non rientra nella definzione di limite, quindi rimane per $epsilon>1$.
Ora vi chiedo ma per $0<epsilon le 1,$ che si fa ??
Quello che posso dire che per tale valore $Delta le 0$ quindi $x^2-2epsilonx+epsilon ge 0, \ forall x in RR $ per cui $x^2-2epsilonx+epsilon< 0$ mai ossia $X = emptyset$
Inoltre per il valore di $epsilon>1$ ho fatto lo svolgimento e mi trovo un intorno di $0$ ma prima vorrei sapere se ha senso riportarlo e in più è corretto quello che ho scritto fin quì...cosi mi risparmio un bel pò di fatica
Ciao