[EX] - Un limite in due variabili

[obnoxious]

Per chi sta preparando Analisi II. Calcolare (se esiste) \[ \lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{ x^2 y^6}{x^6 + y^8}.\]

[Bossmer]

Cattivella ahahha..
Beh secondo me si può fare così:

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

Si usa la Disuguaglianza di Young, e si cercano $p$ e $q$ in modo tale che ovviamente rispettino la disuguaglianza e cioè $\frac{1}{p}+frac{1}{q}=1$ , ma facendo si che $2*p>6$ e che $6*q>8$ , quindi ad esempio scegliendo $p=24/7$ e $q=24/17$ viene che $$\frac{x^2y^6}{x^6+y^8}\leq \frac{7}{24}\frac{x^{2*\frac{24}{7}}}{x^6+y^8}+\frac{17}{24}\frac{y^{6*\frac{24}{17}}}{x^6+y^8} \leq\frac{7}{24}\frac{x^{2*\frac{24}{7}}}{x^6}+\frac{17}{24}\frac{y^{6*\frac{24}{17}}}{y^8} =\frac{7}{24}x^{\frac{6}{7}}+\frac{17}{24}y^{\frac{8}{17}} \to 0$$
Quindi il limite esiste ed è zero.

[Cantor99]

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

\[
\frac{x^{2}y^{6}}{x^{6}+y^{8}}=\frac{(x^{6})^{1/3}(y^{8})^{3/4}}{x^{6}+y^{8}}\le (x^{6}+y^{8})^{1/3+3/4-1}=(x^{6}+y^{8})^{1/12}
\]
Se $(x,y)\to(0,0)$ il limite dovrebbe risultare 0.

[obnoxious]

Yo.