Dubbio problema di fisica sul momento di inerzia

[Alessia00Ma]

Ciao a tutti,
ho un dubbio riguardo a questo esercizio di fisica sui momenti di inerzia.




Il momento di inerzia totale è la somma dei momenti di inerzia delle tre aste che compongono il corpo, dunque per calcolare i singoli momenti di inerzia delle aste è sufficiente applicare il teorema di Huygens-Steiner.

I(momento di inerzia delle due aste oblique) = Ic (momento di inerzia rispetto ad un asse passante per il centro di massa) + md^2 = 1/12mL^2 + m(L/2)^2 = 0,4 kgm^2
Il momento di inerzia della base del triangolo è invece Ic +md^2, dove la distanza d è l'altezza del triangolo equilatero, dunque I = 0,6kgm^2

E' corretto il mio ragionamento?
Per quanto riguarda il periodo di oscillazione, come dovrei procedere? Non mi è molto chiaro il pendolo composto...

[Faussone]

Il ragionamento per il calcolo del momento di inerzia è corretto.

Per quanto riguarda il pendolo composto, cosa non ti è chiaro?
Alla fine per risolvere il pendolo composto devi solo applicare la seconda equazione cardinale rispetto all'asse e trovi la equazione differenziale che governa il moto, da quella, nelle ipotesi di piccole escillazioni, calcoli il periodo.

[Alessia00Ma]

Quindi l'equazione del moto, dato che l'ampiezza delle oscillazioni è piccola, rappresenta un moto armonico con pulsazione $ Omega = ((mgL/2)/I)^(1/2) $ , il periodo è $ T = (2pi) /Omega $. Non capisco perché la pulsazione sia data da questa formula, non mi è molto chiara, in generale, la struttura del pendolo composto.

[Faussone]

Il baricentro del corpo non dista dall'asse $L/2$ quindi quella formula non va bene, seppure formalmente è corretta, $L/2$ deve essere la distanza del baricentro dall'asse.


Per quanto riguarda come arrivarci, perché non provi a scrivere intanto, come ti ho detto prima, la seconda equazione cardinale per il corpo?

[Alessia00Ma]

Per l'equazione del moto devo considerare il momento della forza peso, che vale in modulo $ -mgdsinvartheta $. Dunque $ M = (dL)/(dt) = Ialpha = I(d^2vartheta)/(dt^2) = -mgdsinvartheta $ e quindi, dato che per piccole oscillazioni il seno dell'angolo è circa pari all'angolo stesso, l'equazione diventa $ (d^2vartheta)/(dt^2) + (mgdvartheta)/I = 0 $
E' corretto fin qui? Come distanza devo considerare quindi la distanza del centro di massa, (che in questo caso, in quanto corpo dotato di simmetria, coincide col baricentro) dall'asse?

[Faussone]

Sì ora è corretto. Puoi procedere in questo modo e concludere allora.

[Alessia00Ma]

Va bene, grazie mille!