Punti isolati

[dissonance]

No, Anto, non è strano. Qui \(f^n\) denota la composizione di \(f\) con sé stessa fatta \(n\) volte. Quell'insieme \(F_a\) si chiama "orbita" di \(a\) e non è la stessa cosa di \((f^n)^{-1}\). Sono cose standard che si studiano nel ramo della matematica dei "sistemi dinamici discreti".

[anto_zoolander]

Si questo lo avevo capito(con $leftarrow$ intendevo la controimmagine).
Non mi piace l'uso di $n$ come apice di $RR^n$ e $n$ per la composizione. Per intenderci $f^n:RR^n->RR^n$ non mi ha persuaso

[dissonance]

AAhh, ok, è vero. Meglio \(f^k\colon \mathbb R^n\to \mathbb R^n\).

[Livius]

Overflow94 : riflessioni personali.

A me pare che dissonance l'abbia risolto.

[dissonance]

Si, però due osservazioni:

1) il mio esempio precedente poteva essere scritto in modo molto più semplice:
\[
f(x, y)=\begin{bmatrix} \cos(1) & -\sin (1) \\ \sin (1) & \cos (1)\end{bmatrix}\begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}, \]
o una qualsiasi altra matrice di rotazione di un angolo che NON è multiplo di \(\pi\), produce orbite dense nella circonferenza, e in particolare prive di punti isolati.

2) si può produrre un esempio analogo in dimensione 1? Non ci sono riuscito. Forse no. Questa è una domanda interessante.

[Livius]

C'è da dire che in dimensione 1, se la funzione è continua e iniettiva allora i punti di $F_a$ sono punti isolati, infatti, continua e iniettiva implica strettamente monotona e da qui il passo è breve.
In dimensioni superiori ciò non basta, cioè i punti possono essere isolati o meno a seconda del caso, come è stato già ampiamente mostrato in questo topic.
Comunque in dimensione 1, non so trovare un esempio di funzione continua in cui alcuni punti di $F_a$ non siano punti isolati, credo che la domanda finale posta sia questa.
Un'altra domanda a cui non so rispondere: se l'insieme $F_a$ ha più di un punto di accumulazione, allora è vero che alcuni punti (forse tutti ?) di $F_a$ non possono essere punti isolati ?

[Wilde]

Non ho resistito... dopo paginate di controesempi fallaci ho chiesto su un'altro forum.
Vi lascio il link con la soluzione:
https://math.stackexchange.com/question ... 83#3553983

[dissonance]

Hai fatto bene a chiedere. Ma non ho capito esattamente la risposta, quello sarebbe un controesempio? Non sono ironico, vorrei davvero saperlo.

[Wilde]

Si si ha mostrato un controesempio.
Ammetto che anche per me non è semplicissimo perchè non sapevo neppure cosa fosse un'orbita.
Però per chi lavora su questi temi penso che sia un'esempio classico.

L'idea è questa:
Prendiamo
\[
f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} \qquad f(x)=x^2-2
\]
e
\[
T: \mathbb{R}/\mathbb{Z}\to\mathbb{R}/\mathbb{Z} \qquad T(t) = 2t
\]

(1) Si vede facilmente che la mappa
\[
\phi:\mathbb{R}/\mathbb{Z}\to \mathbb{R} \qquad \phi(t)=2\cos(2\pi t)
\]
è la semi-conjugacy tra $f$ e $T$; cioè $\phi\circ T = f\circ \phi$

(2) Vale la seguente proposizione:

Siano $f$ e $T$ due funzioni semi-conjugated (cioè tale per cui esiste una $phi$ come sopra).
Se esiste un'orbita $O_{t_0,T}:=\{T^n(t_0):\ n\in\mathbb{N}}$ densa per $T$ allora esiste un'orbita $O_{x_0,f}$ densa per $f$.

(3)Si riesce a provare che la mappa $T$ ha un'orbita densa.

(4) Da (3) e (2) segue che $f$ ha un'orbita densa, quindi non sono punti isolati.

Chiaramente (2) e (3) sono da provare, ma sono risultati classici che si trovano sui libri.
Ci sono qualche imprecisione ma sono poco importanti.

[Livius]

Quindi se vuoi punti isolati senza punti di accumulazione, allora la risposta è no.

$f(x)=x+1$, $x \in \mathbb R$,

l’insieme $F_0= \mathbb N$ è composto di punti isolati e non ha punti di accumulazione!