Questione puntigliosa sulla definizione sull'integrale di Riemann

[buraliforti]

Salve a tutti. Come mio primo post ho una questione tecnica, spero non tediosa, da sottoporre. Nell'introduzione dell'integrale alla Riemann si introducono le somme superiori e quelle inferiori relative ad un sistema di intervalli $\{I_k\}$:

\[ S(\{I_k\},f)=\sum_{k=1}^{n} \sup_{x\in I_k}f \ m(I_k) \]

\[ s(\{I_k\},f)=\sum_{k=1}^{n} \inf_{x\in I_k}f \ m(I_k) \]

ove $m(I_k)$ è la misura, lunghezza, del segmento $I_k$. Alcuni, come il Pagani Salsa, utilizzano sistemi di intervalli aperti, altri sistemi di intervalli chiusi. Il Giusti, ad esempio, gli dà una veste più funzionale introducendo gli integrali delle funzioni semplici (combinazione lineare di funzioni costanti a tratti). Per questo utilizza nelle somme superiori ed inferiori (ovvero gli integrali delle funzioni semplici maggioranti e minoranti $f$) gli intervalli aperti a destra (equivalentemente si potrebbe prendere anche quelli aperti a sinistra) dimodochè le funzioni semplici siano definite univocamente nei punti di giunzione.
Sia $\{I_k\}$ un sistema di intervalli ed $\{I_k'\}$ lo stesso sistema di intervalli di prima ad ognuno dei quali però viene associata una frontiera diversa da quella originaria. Per capirci $\{I_k\}$ può essere ad esempio un sistema di intervalli chiusi ed $\{I_k'\}$ lo stesso sistema di prima però ad intervalli aperti a destra. Diremo, per brevità, che ${I_k\}$ ed ${I_k'\}$ sono "simili".
La cosa più sensata da congetturare è che:

" $f$ è integrabile secondo Riemann rispetto al sistema $\{I_k\}$ se e solo se lo è anche rispetto al sistema $\{I_k'\}$ simile a $\{I_k\}$."

Dal fatto che \(\inf_{A\cup B}f\leqslant\inf_A f\) e \(\sup_{A\cup B}f\geqslant\sup_A f\) otteniamo la seguente catena di disuguaglianze:

\[ s(\{\bar{I}_k\},f)\leqslant s(\{I_k\},f)\leqslant s(\{\mathring{I}_k\},f)\leqslant S(\{\mathring{I}_k\},f) \leqslant S(\{I_k\},f)\leqslant S(\{\bar{I}_k\},f) \]

dove \(\{I_k\}\) è un sistema di intervalli e \(\{\mathring{I}_k\}\) e \(\{\bar{I}_k\}\) sono rispettivamente i sistemi di intervalli simili ad esso costituiti da intervalli aperti e chiusi.

Ora banalmente se \(s(\{\bar{I}_k\},f)\) con \(S(\{\bar{I}_k\},f)\) sono classi separate e contigue lo sono pure \(s(\{I_k\},f)\) con \(S(\{I_k\},f)\) e \(s(\{\mathring{I}_k\},f)\) con \(S(\{\mathring{I}_k\},f)\). In oltre tutte e tre hanno lo stesso elemento separatore che è l'integrale di Riemann di $f$. Per completare la prova della congettura sopra (se essa è vera) basterebbe provare che se \(s(\{\mathring{I}_k\},f)\) con \(S(\{\mathring{I}_k\},f)\) sono due classi separate e contigue pure \(s(\{\bar{I}_k\},f)\) con \(S(\{\bar{I}_k\},f)\) lo sono ed hanno in oltre lo stesso elemento separatore. Per far ciò sarebbe sufficiente provare che per un dato sistema di intervalli \(\{\mathring{I}_k\}\) esiste un sistema di intervalli \(\{\bar{I}_h\}\) tali che:

\[ s(\{\mathring{I}_k\},f)\leqslant s(\{\bar{I}_h\},f)\leqslant S(\{\bar{I}_h\},f)\leqslant S(\{\mathring{I}_k\},f) \]

Notare che \(\{\mathring{I}_k\}\) e \(\{\bar{I}_h\}\) non sono simili fra loro!

Il problema è individuarlo (sempre se esiste) qualcuno ha un'idea o una qualsiasi soluzione della congettura sopra fatta?

[otta96]

Scusa ma la tua congettura non vuol dire niente, le funzioni sono integrabili o meno in assoluto, non relativamente ad un sistema di intervalli.

[buraliforti]

Appunto, ci aspettiamo che siano integrabili e che l'integrale non dipenda dal sistema di intervalli presi (chiusi, aperti, aperti a destra ecc. che siano), MA DEVE ESSERE DIMOSTRATO CHE EFFETTIVAMENTE E' COSI'

[buraliforti]

Forse ho trovato........Può servire allo scopo il risultato i fondo a pag.303 delle dispense http://people.dm.unipi.it/acquistp/analisi1.pdf nelle quali si prova sostanzialmente che tutte le somme di Riemann "convergono" all'integrale di $f$. Possiamo prendere per risolvere il problema come scomposizione \(\sigma_0\) il sistema \(\{\mathring{I}_k\}\) e come scomposizione \(\sigma\) il sistema
\(\{\bar{J}_h\}\).

[solaàl]

Definisci un ordine parziale sull'insieme delle suddivisioni $P(I)$ finite di un intervallo: una suddivisione è minore di un'altra se la seconda raffina la prima. Allora, l'insieme parzialmente ordinato $P(I)$ è filtrato; l'integrale di $f$ su $I$ è il colimite della rete \(\varsigma : P(I) \to \mathbb R\) che manda \(\Delta \in P(I)\) nella somma
\[
\sum_{\delta\in\Delta} |\delta| f(x_\delta)
\] dove \(|\delta|\) è la lunghezza dell'intervallo $\delta$ nella suddivisione $\Delta$, e $x_\delta$ è un punto all'interno di $\delta$, che puoi aver scelto o meno secondo un criterio (le partizioni taggate, ad esempio, scelgono un punto.)

L'indipendenza dalla scelta di una suddivisione è conseguenza del fatto che $P(I)$ è filtrata: date \(\Delta,\Delta'\in P(I)\) esiste una suddivisione che raffina entrambe, e quindi esse si identificano nel colimite:
\[
\text{colim}_{\Delta \preceq \Psi} \varsigma(\Psi)
=
\text{colim}_{\Delta' \preceq \Psi} \varsigma(\Psi)
=
\text{colim}_{\Delta\vee \Delta' \preceq \Psi} \varsigma(\Psi)
\]

[vict85]

Se vogliamo essere proprio puntigliosi, quella è la definizione dell'integrale di Darboux, che si può dimostrare è equivalente all'integrale di Riemann. Siccome la definizione di Darboux è considerata più semplice di quella originale, i libri tendono a presentare quella. Nella definizione di Riemann si ha una partizione e dei punti \(\{t_i\}\) contenuti nei vari intervallini e si cerca il limite di \(\displaystyle\sum_{i=0}^{n-1} f(t_i)(x_{i+1} - x{i})\). La dimostrazione che il limite non dipende dalla scelta dei punti o degli intervalli fa parte della dimostrazione dell'esistenza dell'integrale e Solaàl lo ha mostrato sopra. Si può anche dimostrare senza far riferimento a colimiti, ma sostanzialmente si fa la stessa cosa. Per Darboux la dimostrazione è simile.

Per dimostrare questo tipo di cose, si fa generalmente riferimento al concetto di rete. Infatti, l'insieme delle partizioni (puntate o meno) forma un insieme diretto. Senza il concetto di rete (o quello equivalente di filtro), i professori cercano di catturare la complessità del problema con l'uso delle successioni ma i due concetti non sono equivalenti.

È interessante notare che con una piccola modifica della definizione di Riemann sia possibile definire un integrale molto più potente (esistono funzioni integrabili secondo questa definizione che non sono Lebesgue-integrabili).

[buraliforti]

Grazie solaàl e vict85 ! Passerò attentamente la vostra dritta poichè per me non è per ora immediata, devo meditarci su un pochino . Grazie ancora !

[otta96]

Appunto, ci aspettiamo che siano integrabili e che l'integrale non dipenda dal sistema di intervalli presi (chiusi, aperti, aperti a destra ecc. che siano), MA DEVE ESSERE DIMOSTRATO CHE EFFETTIVAMENTE E' COSI'

Al di là di quello che ti hanno detto gli altri, che è corretto, volevo capire cosa intendi. Perché la definizione di integrabilità prescinde dalla partizione, direttamente per com'è definita, non c'è bisogno di dimostrare niente, posso chiederti quale definizione di integrabilità usi?

[buraliforti]

Scusate per la lunga assenza, ma ho avuto degli impegni. Otta96 rispondo anche a te con la seguente dimostrazione che l'integrale di riemann non dipende dal tipo di intervalli considerati (tutti aperti, chiusi, semiaperti, semichiusi o misti). Notare quello che avevo scritto all'inizio:

Per completare la prova della congettura sopra (se essa è vera) basterebbe provare che se \(s(\mathring{I}_k,f)\) con \(S(\mathring{I}_k,f)\) sono due classi separate e contigue pure \(s(\bar{I}_k,f)\) con \(S(\bar{I}_k,f)\) lo sono ed hanno in oltre lo stesso elemento separatore.

Per provare ciò consideriamo le somme di Riemann:

\[ s(\bar{I}_k,f) = \sum_{k=1}^n \inf_{\bar{I}_k} f\ m(I_k) \]
\[ S(\bar{I}_k,f) = \sum_{k=1}^n \sup_{\bar{I}_k} f\ m(I_k) \]

Accanto ad esse consideriamo la cosidetta somma di Cauchy:

\[ S_c(\bar{I}_k,f,\eta_k) = \sum_{k=1}^n \eta_k \ m(I_k) \]

ove \(\inf_{\bar{I}_k} f < \eta_k < \sup_{\bar{I}_k} f\). Posto allora prima\(\eta_k = u_k=\inf_{\mathring{I}_k} f \) e poi \(\eta_k = u_k=\sup_{\mathring{I}_k} f \) possiamo considerare le seguenti particolari somme di Cauchy:

\[ S_c(\bar{I}_k,f,u_k) = \sum_{k=1}^n u_k \ m(I_k) = s(\mathring{I}_k,f) \]

\[ S_c(\bar{I}_k,f,v_k) = \sum_{k=1}^n v_k \ m(I_k) = S(\mathring{I}_k,f) \]

Ricordiamo poi la seguente:

Definizione (Integrale di Cauchy): Una funzione $f$ è integrabile secondo Cauchy se \(\forall\delta>0\) esistono un numero $I$ ed un sistema di intervalli \(\bar{I}_k\) tali che:

\[|I- S_c(\bar{I}_k,f,\eta_k)|<\delta\]

per ogni scelta di \( \eta_k : \inf_{\bar{I}_k} f < \eta_k < \sup_{\bar{I}_k} f\).

Ora notiamo che$f$ è integrabile secondo Cauchy se e solo se \(s(\mathring{I}_k,f)\) e \(S(\mathring{I}_k,f)\) sono classi separate e contigue. In oltre il loro elemento separatore è l'integrale $I$ di Cauchy (cfr proposizione 1 sotto). Poichè, per la proposizione 2 in basso, $f$ è integrabile secondo Cauchy se e solo se è integrabile secondo Riemann (facendo in questa definizione riferimento alle somme di Riemann delle suddivisioni \(\{\bar{I}_k\}\) ) ne scende che se \(s(\mathring{I}_k,f) \) e \(S(\mathring{I}_k,f) \) sono classi separate e contigue con elemento separatore $I$ , pure \(s(\bar{I}_k,f)\) e \(S(\bar{I}_k,f)\) lo sono ed il loro elemento sepratore è sempre $I$. Da qui ne consegue che possiamo definire l'integrale di Riemann usando le somme superiori ed inferirori relative a intervalli tutti chiusi, aperti, aperti a destra a sinistra oppure usando un melange fra questi.

Proposizione 1: Le due seguenti affermazioni sono equivalenti:

a) \(\forall\delta>0\) esiste una scomposizione \(\{\bar{I}_k\}\) ed un numero $I$ tale che:

\[|I- S_c(\bar{I}_k,f,\eta_k)|<\delta\]

per ogni scelta di \( \eta_k : \inf_{\bar{I}_k} f < \eta_k < \sup_{\bar{I}_k} f\)

b) \(s(\mathring{I}_k,f)\) e \(S(\mathring{I}_k,f)\) sono due classi separate e contigue il cui elemento separatore lo indichiamo con $J$.

In oltre $I$ e $J$ coincidono.

Dim.

a)\(\to\) b) Prendendo prima \(S_c = s(\mathring{I}_k,f)\) e poi \(S_c = S(\mathring{I}_k,f)\) abbiamo:

\[ |I- s(\mathring{I}_k,f)|<\delta\]
\[ |I- S(\mathring{I}_k,f)|<\delta\]

cosicchè:

\[|S-s|=|S-I+I-s|\leqslant |S-I|+|I-s|<2\delta\]

ovvero $s$ e $S$ sono due classi separate e contigue con elemento separatore $I$

b)\(\to\) a) Poichè \(s\leqslant S_c\leqslant S\) e \(s\leqslant J \leqslant S\) si ha:

\[|S_c-I|\leqslant |S-s|<\delta\]

ergo $f$ è integrabile sexondo Cauchy e $J$ è il suo integrale di Cauchy. CVD

Proposizione 2: I seguenti fatti sono equivalenti:

a) (Riemann integrabilità) \(\forall\delta>0 \ \exists \{\bar{I}_k\}\ \) tale che:

\[ S(\bar{I}_k,f)- s(\bar{I}_k,f) < \delta\]

e indichiamo con $I$ l'elemento separatore;

b) (Cauchy integrabilità) \(\forall\delta>0\) esistono un numero $J$ ed un sistema di intervalli \(\bar{I}_k\) tali che:

\[|J- S_c(\bar{I}_k,f,\eta_k)|<\delta\]

per ogni scelta di \( \eta_k : \inf_{\bar{I}_k} f < \eta_k < \sup_{\bar{I}_k} f\).

In oltre $I=J$.

Dim.

a)\(\to\) b) Poichè \(s\leqslant S_c\leqslant S\) e \(s\leqslant I \leqslant S\) si ha \( |S_c-I|\leqslant |S-s|\) perciò $f$ è integrabile secondo Cauchy ed il suo integrale di Cauchy è $I$.

b)\(\to\) a) Abbiamo \( S_c>J-\delta\) e \(S_c<J+\delta\). Poichè \(S\geqslant S_c\) e \(s\leqslant S_c\) ne risulta: \(S>S_c>J-\delta\) e \(s<S_c<J+\delta\) Perciò $s$ ed $S$ sono classi separate contigue con elemento separatore $J$. CVD