Trasformazione di VA mista

[verbatimvadim]

Salve! Come da titolo, mi sto "avventurando" nell'affascinante quanto (ostico?), mondo delle trasformazioni di VA. Sto iniziando con questo "esercizio", potreste dirmi se il ragionamento è corretto?

"Data una VA mista con massa di probabilità in X = 0 pari a 0.5 si effettui la trasformazione \( Y = X^2 \)
Quale delle seguenti masse di probabilità comparirà nella pdf di Y?

\( \delta (y - 1/2) \)
\( 0.5\delta (y) \)
\( \delta (y) \)
Nessuna delle altre

ora, se ho ben interpretato, il teorema fondamentale della trasformazione di variabili aleatorie afferma che "solo" nel caso in cui si abbia un tratto "costante" nella funzione di trasformazione g(x) si potrebbero avere delle delta di Dirac in corrispondenza di quei punti. Seguendo il teorema quindi l'unica risposta sensata è "Nessuna delle altre". E' corretto?

[tommik]

???

se la $X$ concentra il 50% della sua massa totale di probabilità nel punto $x=0$ la stessa cosa accadrà per la variabile $Y=X^2$ nel punto $y=0$

mi sembra evidente.

[verbatimvadim]

Accidenti, è vero! Mi ero concentrata sulla g(x) e mi sono dimenticata che è comunque presente una delta in y = 0. Quindi la risposta esatta è senz'altro la seconda. Ad ogni modo non ho ben chiaro come si dispongono le delta di Dirac nei casi in cui si abbiano dei tratti "costanti" nella funzione di trasformazione g(x); ad esempio:

Sia X ~ Unif[0, 1] e si consideri la trasformazione g(x) = 6 per x >= 0.6. Delle seguenti masse di probabilità quale sarà presente nella pdf di Y = g(X):

\( 6/10\delta (y -6) \)
\( 6/10\delta (y -4) \)
\( 4/10\delta (y -4) \) \( 4/10\delta (y -6) \)

ora, mi sembrerebbe abbastanza ovvio che la risposta corretta è una di quelle che include \( \delta (y-6) \), a livello pratico però non saprei come arrivarci, sopratutto per il calcolo completo della funzione. Nelle dispense viene citato semplicemente il teorema fondamentale della trasformazione di VA ma è abbastanza poco intuitivo applicarlo.

[tommik]

Quindi la risposta esatta è senz'altro la seconda

...ovviamente sì.

Per l'altro quesito la risposta esatta è evidentemente $0.4 delta(y-6)$ e non servono conti per capirlo....se non ci arrivi a mente fai il grafico della uniforme e vedi quanta massa di probabilità è concentrata distribuita nell'intervallo $0.6<x<1$

$mathbb{P}[X>=0.6]=(1-0.6)xx1=0.4$

Ora se¹ $AA x in (0.6;1)$ la Y vale sempre 6, è evidente che tutta la massa di probabilità che la X distribuisce (uniformemente) in quell'intervallo, nella Y viene concentrata in un unico punto: $Y=g(X)=6$

se guardi nel forum avrò risolto diverse centinaia di esercizi sulle trasformazioni....alcuni anche decisamente interessanti....usa la funzione "cerca" e vedrai....

buona lettura

EDIT: avevo postato due esercizi inventati per chiarire meglio la trasformazione di queste variabili non assolutamente continue; ho visto che ti sei collegata ma non hai mostrato interesse e quindi, come avevo specificato, li ho cancellati.

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Note

1. l'intervallo della X può essere chiuso o aperto, indifferentemente, perché essendo la sua distribuzione assolutamente continua ha misura nulla in ogni punto ↑