Ciao a tutti,
ho di fronte queste domande chiuse sulla convergenza di successioni di funzioni che implicano anche l'utilizzo dei concetti di misura e integrale di Lebesgue.
1. La successione di funzioni non-negative $f_n: RR\ to RR$ definite per $n>0$ da $f_n (x)= n chi_ (0,1/n)$
(a) converge puntualmente alla funzione nulla, ovunque in $RR$
(b) converge puntualmente alla funzione nulla, ovunque in $RR$ tranne un insieme di misura nulla e non vuoto.
(c) è una successione monotona $f_n<=f_(n+1)$ e quindi per il teorema della convergenza monotona ha limite
puntuale $f=lim_{n \to \infty}$ tale che $lim_{n \to \infty}= int_(RR)f_n (x)dx= int_(RR)f(x)dx$.
(d) è una successione monotona $f_n<=f_(n+1)$, e che non soddisfa le ipotesi del teorema della convergenza
monotona, dato che $f_n$ converge puntualmente a $0$ in $RR$ ma $lim_{n \to \infty}= int_(RR)f_n (x)dx=1$.
Scartata (d) mi sembra che sia la (a) sia la (c) siano corrette, mentre non capisco la condizione quasi ovunque dell'opzione (b).
2.Se le funzioni $a_n (x)>=0$ sono una successione di funzioni non-negative, limitate, definite in $[0,1] sub RR$ e integrabili secondo Lebesgue, e la serie $\sum_{n=1}^\infty\ a_n (x)$ converge puntualmente ad una funzione $A(x): [0,1] sub RR uu(+infty)$, allora:
(a) La funzione $A(x)$ è misurabile e $\sum_{n=1}^\infty\ int_0^1 a_n (x)= int_0^1 A(x)dx$
(b) La funzione $A(x)$ è misurabile ma non è detto che $\sum_{n=1}^\infty\ int_0^1 a_n (x)= int_0^1 A(x)dx$.
(c) La funzione $A(x)$ è misurabile e ha integrale sempre finito tale che $\sum_{n=1}^\infty\ int_0^1 a_n (x)= int_0^1 A(x)dx$.
(d) La funzione $A(x)$ è misurabile e ha integrale sempre finito, ma non è detto che $\sum_{n=1}^\infty\ int_0^1 a_n (x)= int_0^1 A(x)dx$.
Qui mi perdo completamente, non riesco a capire neanche a che teorema attaccarmi....
Qualcuno ha qualche suggerimento chiarificatore?
Grazie.