Let $\mathcal(T)_alpha$ be a family of topologies on $X$. Show that there is a unique smallest
topology on $X$ containing all the collections $\mathcal(T)_alpha$, and a unique largest
topology contained in all $\mathcal(T)_alpha$ .
L'esercizio proviene dal "Topology. Second Edition" di Munkres pag 83 es. 4b.
Per adesso non sono andato molto lontano, ho soltanto definito una base che genera una topologia che contiene l'unione di tutte le $\mathcal(T)_alpha$.
Chiamando $ J $ l'insieme degli indici definisco il prodotto cartesiano: $ prod_(alpha in J)^()\mathcal(T)_alpha $ . A partire dai sui elementi $ (X_alpha)_(alpha in J) $ definisco l'insieme:
$ B={\bigcap_(alpha in J)X_a | (X_alpha)_(alpha in J) in prod_(alpha in J)^()\mathcal(T)_alpha} $
$ B $ contiene $X$ e $ O/ $ in quanto sono contenuti da tutte le topologie. Se $ Y in \mathcal(T)_alpha $ allora $ Y in B $, infatti basta scegliere nel cartesiano $ X $ per tutte le altre componente e $ Y $ per la topologia a cui appartiene. $ B $ è chiuso rispetto all'intersezione infatti:
$ (\bigcap_(alpha in J)Z_a) nn (\bigcap_(alpha in J)Y_a)=(\bigcap_(alpha in J)(Z nn Y)_a) in B $
Ne segue che $ B $ è una base che genera una topologia, chiamiamola $\mathcal(M)$, che contiene tutti gli insiemi di tutte le topologie $ \mathcal(T)_alpha $ .
Ora vorrei provare a dimostrare che è anche la pià piccola nel senso che se esiste una topologia $M$ che contiene tutte le topologie $ \mathcal(T)_alpha $ e $M sub \mathcal(M) $ allora $ \mathcal(M) = M$ ma l'approccio che sto seguendo non mi sembra molto maneggievole.
EDIT: per i problemi legati all'intersezione di infiniti elementi dobbiamo porre la condizione ulteriore che la scelta di $ X_alpha $ possa essere diversa da $X$ solo per un numero finito di $ alpha $, quanto detto rimane valido.