Verificare il limite di successione con $\pm$

Messaggioda tetravalenza » 23/02/2020, 20:13

Ciao

il Marcellini/Sbordone ha un esercizio che chiede di verificare il limite di una successione utilizzando la definizione di limite,
\[
\lim_{n\rightarrow +\infty}{n(1\pm n)}=\pm\infty
\]
Questa notazione è equivalente?
\[
\lim_{n\rightarrow +\infty}{\vert n(1\pm n)\vert}=+\infty
\]
Se fosse corretta, vuol dire che la definizione è la seguente
\[
\forall M>0, \exists n_m\in N : n\geq n_m\Rightarrow\vert n(1\pm n)\vert > M
\]
Se provo a risolvere la diseguaglianza con il valoro assoluto, giungo a dover risolvere
\[
n(1\pm n) < -M \vee n(1\pm n) > M
\]
Nella prima scegliendo + si ottiene un assurdo per $M>0$ cosa posso dedurre? Come si gestisce quel $\pm$ nelle diseguaglianze?
tetravalenza
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Re: Verificare il limite di successione con $\pm$

Messaggioda pilloeffe » 23/02/2020, 23:43

Ciao tetravalenza,

tetravalenza ha scritto:$\lim_{n \to +\infty}n(1 \pm n)=\pm \infty $

Questa notazione è equivalente?
$\lim_{n \to +\infty}|n(1 \pm n)|= +\infty $

Direi proprio di no, lo si vede dalla definizione di modulo o valore assoluto... :wink:
tetravalenza ha scritto:Come si gestisce quel $\pm $ nelle diseguaglianze?

Scusa, ma perché non tratti separatamente i due casi? Mi pare più comodo...
pilloeffe
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Re: Verificare il limite di successione con $\pm$

Messaggioda tetravalenza » 24/02/2020, 09:53

Ciao,

non ho capito molto bene com'è definita la successione. Ho altri libri di testo di Analisi dove però non viene mai presentata una notazione di questo tipo per le successioni e sullo stesso Marcellini-Sbordone compare per la prima volta in questo esercizio ma senza soluzione. Se invece di verificare il limite volessi calcolarlo come dovrei procedere?
Grazie per la risposta.
tetravalenza
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Re: Verificare il limite di successione con $\pm$

Messaggioda dissonance » 24/02/2020, 11:37

Non ti imbrogliare con \(\pm\). Sono due limiti da calcolare separatamente, uno con il più e l'altro con il meno, non c'è da aggiungere altro.
dissonance
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Re: Verificare il limite di successione con $\pm$

Messaggioda tetravalenza » 24/02/2020, 17:05

dissonance ha scritto:Non ti imbrogliare con \(\pm\). Sono due limiti da calcolare separatamente, uno con il più e l'altro con il meno, non c'è da aggiungere altro.


OK grazie
tetravalenza
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