rango della matrice

Messaggioda lukixx » 24/02/2020, 04:11

salve ragazzi,
se ho una matrice A, n x n, C, p x n, e
$ O = [ ( C ),( CA ),( ... ),( CA^(n-1) ) ] $,
e supposto che il rango della matrice O sia massimo, posso dire con certezza che anche il rango della matrice
$ O' = [ ( C ),( CA^(j_(1)) ),( ... ),( CA^(j_(n-1)) ) ] $ con $ j_i,i=1,...,n-1 $ e $ j_i!=j_k ,i!=k $
sia massimo? o almeno, se non massimo, stesso rango?


Sfrutterei il teorema di Caylay-Hamilton per riscrivere le potenze di A con esponente pari o superiore a n come combinazione lineare delle potenze con esponente al più n-1, poi, considerato che $ j_i!=j_k ,i!=k $ e visto che, nell' ambito in cui applicherò questo ragionamento, è supponibile in genere che A non sia la matrice identità, avrò che tutte le potenze ad esponente almeno n sono combinazioni lineari diverse (non so se indipendenti, questo è il vero problema), delle potenze ad esponente al più n-1. qualcuno può aiutarmi?
lukixx
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Re: rango della matrice

Messaggioda solaàl » 24/02/2020, 15:33

Se gli esponenti \(j_i\) sono tutti compresi tra $1$ ed $n-1$, e tutti diversi tra loro, hai solo permutato le righe di $O$, no?

Ah, ma tu li vuoi anche maggiori di $n-1$.
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solaàl
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